这是我的一道拓展题，我完全不知道该怎么下手。
$$\sqrt{99} + \sqrt{101} < 2\sqrt{100}$$
一开始我尝试找更小或更大的平方根来对比，但这些数字差距太小了，考试里这么做根本不实用。之后我试了下面的方法：
设 $n = 10$，把式子写成 $\sqrt{n^2-1} + \sqrt{n^2+1}$，还把 $\sqrt{n^2-1}$ 拆成了 $\sqrt{(n-1)(n+1)}$，但这么做好像没得到什么有用的结果，就卡在这里了。有没有人能想到别的方法？应该是很明显的方法，但我就是没想到。

嗨，别着急，其实有两种非常简单的思路，都能快速证明这个不等式，完全不用计算器：

方法一：平方对比法（最直观） #

因为不等式两边都是正数，所以我们可以直接给两边平方，只要平方后的左边小于右边，原不等式就成立。

1. 先写出要证的式子：$\sqrt{99} + \sqrt{101} < 2\sqrt{100}$
2. 两边平方：$(\sqrt{99} + \sqrt{101})^2 < (2\sqrt{100})^2$
3. 展开左边：$(\sqrt{99})^2 + 2\times\sqrt{99}\times\sqrt{101} + (\sqrt{101})^2 = 99 + 101 + 2\sqrt{99\times101} = 200 + 2\sqrt{99\times101}$
4. 计算右边：$(2\sqrt{100})^2 = 4\times100 = 400$
5. 现在问题简化为证：$200 + 2\sqrt{99\times101} < 400$，两边减200再除以2，得到$\sqrt{99\times101} < 100$
6. 再给这个式子两边平方：$99\times101 < 100^2$
7. 用平方差公式算左边：$99\times101 = (100-1)(100+1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$，显然9999 < 10000，所以原不等式成立！

方法二：均值不等式法（更简洁） #

如果你学过均值不等式，那这个方法一步就能看出结果：

对于两个不相等的正数$a$和$b$，它们的算术平均数小于平方平均数，也就是：
$$\frac{a + b}{2} < \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$$

这里我们取$a = \sqrt{99}$，$b = \sqrt{101}$，代入公式：
$$\frac{\sqrt{99} + \sqrt{101}}{2} < \sqrt{\frac{99 + 101}{2}} = \sqrt{\frac{200}{2}} = \sqrt{100}$$

两边同时乘以2，就得到$\sqrt{99} + \sqrt{101} < 2\sqrt{100}$，完美搞定！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hooman