你做的这个推导是Sturm-Liouville（SL）问题转化为Schrödinger型规范方程的标准流程，先把你的推导整理成更清晰的形式方便参考：

首先从一般SL问题出发：
$$
(pu')'+qu+\lambda ru=pu''+p'u'+qu+\lambda ru=0
$$

第一步：引入中间变量$v$做替换 #

令 $h=\frac{1}{(pq)^{\frac{1}{4}}}$，$u=hv$，代入原方程并乘以$h$后整理，得到：
$$
h(p(hv''+2h'v'+h''v)+p'(hv'+h'v)+qhv+\lambda rhv)=0
$$
进一步化简为Sturm-Liouville形式：
$$
(h^2pv')'+h(ph''+p'h'+qh)v+\lambda r h^2 v=0
$$

第二步：定义规范后的系数 #

令 $\hat{p}=h^{2p$，$\hat{q}=h(ph''+p'h'+qh)$，$\hat{r}=rh}2$，此时显然满足 $\hat{r}\hat{p}=1$。

第三步：变量替换为$y$，转化为Schrödinger方程 #

令 $y=\int\frac{1}{\hat{p}(x)}dx = \int\hat{r}(x)dx$，再做变量替换 $w(y)=v(x)$，最终可以将方程转化为：
$$
w''+\tilde{q}w+\lambda w=0
$$
其中 $\tilde{q}=\frac{\hat{q}}{\hat{p}}(x(y))$，这就是标准的Schrödinger型方程。

想要找更多关于这种转化方法的内容，可以从以下几个方向入手：

• 经典常微分方程边值问题教材：这类书籍会把SL问题的规范形式转化作为核心内容，比如在“Sturm-Liouville问题的正则化”章节里，会详细讲解各种变量替换技巧、规范形式的唯一性，以及不同替换对应的适用场景，还会附带大量例题帮助理解。
• 数学物理方法专著：由于Schrödinger方程是量子力学的基础方程，很多数学物理书籍会从SL问题的数学框架引入它，不仅会推导转化过程，还会结合物理背景解释规范形式的意义（比如简化谱计算、对应量子力学中的哈密顿算子形式）。
• 自伴算子谱理论资料：SL问题本质是自伴微分算子的典型实例，泛函分析中关于自伴算子的谱理论部分，会从算子的自伴性保持角度分析这些变量替换的合理性，还会延伸到谱的离散性、正交性等后续内容。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jorge