首先，伽马函数的定义为：
$$\Gamma(x)= \int_0^ \infty e^{-t}t{x-1}dt \quad x>0.$$

Bohr和Mollerup证明了伽马函数是定义在$(0,\infty)$上唯一满足以下性质的正函数$f$：

• $f(x+1)=xf(x)$
• $f(1)=1$
• $f(x)$是连续函数
• $f(x)$是对数凸函数

原提问 #

为什么这些性质很重要？（我指的是第3、4条，前两条显然是核心）我理解定义$\Gamma$为连续函数可能有用，但为什么它必须是对数凸的？这看起来像是一个毫无动机的随机性质，但我确信背后一定有原因，而且好奇欧拉当初给出积分定义时是否考虑了这个性质。

解答 #

其实这个问题问得非常好——对数凸性看起来确实有点突兀，但它实际上是让伽马函数成为唯一满足递推关系的“自然”延拓的关键，而且和很多数学领域的需求紧密相关，我来拆解一下：

为什么需要连续性？

前两条性质$f(x+1)=xf(x)$和$f(1)=1$只能确定正整数点上的值：$f(n)=(n-1)!$，但对于非整数的$x$（比如$0.5$、$\pi$这类点），递推关系没法直接给出函数值。如果没有连续性，我们可以构造出无数个满足前两条的函数——比如在每个区间$(n,n+1)$上随便定义一个符合递推的不连续函数，但这样的函数毫无数学价值，因为它没法和分析、数论里的连续需求匹配。连续性是让这个函数能成为阶乘的“光滑”延拓的基础，保证它在整个正实数轴上有唯一的、可预测的行为。

为什么是对数凸性？

这才是Bohr-Mollerup定理的精髓，对数凸性（即$\log f(x)$是凸函数）的动机主要来自几个方面：

1. 离散阶乘的自然延拓：对于正整数$n$，$\log n! = \log1 + \log2 + ... + \log n$，这个序列是凸的（你可以验证二阶差分非负）。把这个离散的凸性延拓到连续域，自然就要求$\log \Gamma(x)$是凸函数，这是从离散阶乘到连续伽马函数的“自然继承”。
2. 唯一性的核心保障：如果只要求前三条性质（递推、$f(1)=1$、连续），依然存在多个满足条件的函数。比如你可以构造一个连续函数，在每个区间$(n,n+1)$上稍微“扭曲”一下，只要满足递推和连续性，但这样的函数不会有伽马函数的那些好性质。对数凸性加上前两条，就把这个函数唯一确定下来了——这是Bohr-Mollerup定理最核心的贡献。
3. 与积分定义的天然契合：欧拉给出的积分定义天然满足对数凸性，这不是巧合。对数凸性和积分的性质密切相关，比如通过Holder不等式可以证明，由这类含参数积分定义的函数往往具有对数凸性。而这个性质反过来又能推导出伽马函数的很多重要不等式，比如Stirling公式的误差估计、Gamma函数的单调性等，这些都是后续数学研究的基础工具。
4. 跨领域的应用价值：对数凸性在数论、概率统计（比如Gamma分布）、复分析里都有重要作用。比如在数论中，伽马函数的对数凸性和素数定理的证明有关；在概率里，Gamma分布的很多关键性质（如可加性）依赖于伽马函数的对数凸性。

至于欧拉当初是否考虑了对数凸性，其实欧拉主要是通过积分定义来延拓阶乘，而对数凸性是后来被数学家发现的关键性质。Bohr和Mollerup的定理是把这个积分定义的“唯一性”用简洁的性质刻画出来，让我们明白为什么伽马函数是阶乘延拓的唯一合理选择。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pie