钝角三角形中过内心且平行于BC的线段DE长度求解问询

我现在碰到一道区域数学竞赛的练习题（不是现场赛题），题目是这样的：
已知钝角三角形$ABC$满足$\angle C > 90^\circ$，它的内心是点$I$。过$I$作一条平行于$BC$的直线$\ell$，记直线$\ell$与$AB$的交点为$D$，与$BC$的交点为$E$。已知$AI = 3$，$\triangle ABC$的内切圆半径为$1$，且三角形的面积为$5\sqrt{2}$，需要求出线段$DE$的长度。

我自己试着推导了一部分，但卡在半路了，不知道该怎么继续往下走才能算出$DE$。下面是我的手写解题尝试草稿：

提前谢谢大家能给我任何形式的帮助、提示或者完整的解法！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathhello