我现在有这样一个函数：
$$\pi(x) = \frac{s_0\cdot \left(1-\left(\frac{s_1}{s_1+x \cdot \lambda}\right)^{k}\right) \cdot r_1}{s_0\cdot \left(1-\left(\frac{s_1}{s_1+x \cdot \lambda}\right)^{k}\right) \cdot \gamma+ r_0}- x$$

其中参数满足：

• $x, s_0, s_1, r_0, r_1 \in \mathbb{R}^+$
• $\lambda, \gamma \in [0,1]$
• $k \in {0.25, 4}$

我想要找到能最大化$\pi(x)$的$x$值——通过在Desmos上画图能看到这个最大值确实存在。

我已经尝试过求解$\frac{d\pi(x)}{dx}=0$来找到临界点，但看起来没有解析根。想问问大家：我还可以尝试哪些方法？有没有办法得到这个最大值的闭式解？

编辑补充： 下面是我尝试求解$\frac{d\pi(x)}{dx}=0$的推导过程，符号参考了评论里的建议：

我们需要解$\frac{d \pi(x)}{dx} = 0$，也就是：
$$ \frac{\left(s_{0}\cdot r_{1}\cdot r_{0}\cdot\lambda\cdot k\cdot\left(\frac{s_{1}}{s_{1}+\lambda\cdot x}\right)^{1+k}\right)}{s_{1}\cdot\left(s_{0}\cdot\gamma\cdot\left(\left(\frac{s_{1}}{s_{1}+\lambda\cdot x}\right)^{{k}-1\right)-r_{0}\right)}{2}}-1=0$$

整理后得到：
$$\left(s_{0}\cdot r_{1}\cdot r_{0}\cdot\lambda\cdot k\cdot\left(\frac{s_{1}}{s_{1}+\lambda\cdot x}\right)^{1+k}\right) = s_{1}\cdot\left(s_{0}\cdot\gamma\cdot\left(\left(\frac{s_{1}}{s_{1}+\lambda\cdot x}\right)^{{k}-1\right)-r_{0}\right)}{2}$$

我引入了两个变量来简化式子：

• $a=s_{0}\cdot r_{1}\cdot r_{0}\cdot\lambda \cdot k$
• $y=s_1+\lambda \cdot x$

代入后改写为：
$$
\pm\sqrt{a} \cdot s_1^{\frac{k}{2}} \cdot y^{-\frac{k+1}{2}} = s_0 \cdot \gamma \cdot \left(\left(\frac{s_{1}}{y}\right)^{k}-1\right)-r_{0}
$$

进一步整理成：
$$
\pm \sqrt{a} \cdot s_1^{\frac{k}{2}} \cdot y^{-\frac{k+1}{2}} - s_0 \cdot \gamma \cdot s_{1}^k \cdot y^{-k} + s_0 \cdot \gamma +r_{0} =0
$$

再简化成通用形式：
$$A \cdot y^{-\frac{k+1}{2}} + B \cdot y^{-k} + C= 0$$

其中：

• $A=\pm \sqrt{s_{0} \cdot r_{1} \cdot r_{0} \cdot \lambda \cdot k \cdot s_1^k}$
• $B = - s_0 \cdot \gamma \cdot s_{1}^k$
• $C=s_0 \cdot \gamma +r_{0}$

现在问题是$k$只能取0.25或者4，这两种情况都让我很难继续求解。另外看到有评论说可以通过级数展开当成一般三项式来解，但我还不太懂这个方法，想问问具体该怎么操作？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AnastasiaShishkova