我正在学习Huybrechts《Complex Geometry An Introduction》第99页的Example 2.5.2，试图理解子流形上的爆破。

背景铺垫 #

对于$m \leq n$，我们将$\mathbb C^m$视为$\mathbb C^n$的子流形${ z_{m+1} = \ldots = z_n = 0 }$，并定义$\mathbb C^n$沿$\mathbb C^m$的爆破为：
$$
Bl_{\mathbb C^m} (\mathbb C^n) := { (x,z): z_i x_j = z_j x_i, \forall i, j = m+1, \ldots, n }
\subset \mathbb P^{n-m-1} \times \mathbb C^n
$$

问题场景 #

设$U, V$是$\mathbb C^n$中的两个开集，$\phi: U \rightarrow V$是双全纯映射，满足$\phi(U \cap \mathbb C^m) = V \cap \mathbb C^m$。我想搞懂Huybrechts是如何利用$\phi$将$Bl_{\mathbb C^m \cap U} (U)$和$Bl_{\mathbb C^m \cap V}(V)$粘合起来的。

我的分析与困惑 #

首先，Huybrechts将$U$中的坐标记作$z=(z_1, \ldots, z_n)$，$\phi=(\phi^1, \ldots, \phi^n)$，并通过等式
$$
\phi^k = \sum_{j=m+1}^n z_j \phi_{k,j}
$$
定义了复数$\phi_{k,j}$。这看起来有点不合逻辑，因为$\phi^k$只是$z$的函数，并不一定是$z$的线性函数。我猜测他实际想表达的是：如果令$z_i' := \phi^i(z)$，那么有
$$
\frac{\partial}{\partial z_k'} = \sum_{j=m+1}^n \frac{\partial \phi^k}{\partial z_j} \frac{\partial}{\partial z_j}
$$
所以实际上$\phi_{k,j} = \frac{\partial \phi^k}{\partial z_j}$。

之后他定义了映射$\hat \phi: \mathbb P^{n-m-1} \times (\mathbb C^n \cap U) \rightarrow \mathbb P^{n-m-1} \times (\mathbb C^n \cap V)$：
$$
\hat\phi(x,z) := ((\phi_{k,j}(z)){k,j=m+1,\ldots, n} \cdot x, \phi(z))
$$
并指出当限制在$Bl{\mathbb C^m \cap U} (U)$上时，这个映射就给出了$\hat\phi: Bl_{\mathbb C^m \cap U} (U) \rightarrow Bl_{\mathbb C^m \cap V} (V)$。

我最困惑的点：为什么$\hat\phi(Bl_{\mathbb C^m \cap U} (U)) \subset Bl_{\mathbb C^m \cap V} (V)$？

要满足这个包含关系，就意味着如果对于$i,k = m+1, \ldots, n$有$z_i x_k = z_k x_i$，那么必须满足：
$$
\phi^i(z) \sum_{j={m+1}}^n \frac{\partial \phi^k}{\partial z_j}(z) x_j =
\phi^k(z) \sum_{j={m+1}}^n \frac{\partial \phi^i}{\partial z_j}(z) x_j
$$
但目前来看这个条件明显不成立！

我到底哪里理解错了？难道需要验证的不是这个条件？那到底应该如何利用$\phi$将$Bl_{\mathbb C^m \cap U} (U)$和$Bl_{\mathbb C^m \cap V}(V)$粘合起来呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rosecabbage