嗨，我来给你梳理下这个问题的可行思路哈～因为你提到$X$和$Y(X)$都没有密度，常规的逐点导数肯定没法直接用，咱们得从分布意义下的弱导数入手，这是处理这类无密度随机变量问题的核心方向，具体步骤如下：

• 第一步：明确弱导数的定义
  对于任意光滑紧支测试函数$\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$，$F(z)$的弱导数$F'$满足：
  $$\int_{\mathbb{R}} F(z)\phi'(z)dz = -\int_{\mathbb{R}} F'(z)\phi(z)dz$$
  我们先把$F(z)$代入左边的积分，利用期望和积分的交换（非负情况用Fubini-Tonelli定理，若$E[e^X|A-Y(X)|]<\infty$则用控制收敛定理，交换是合理的），得到：
  $$\int_{\mathbb{R}} E\left[e^X(A-Y(X))\chi_{{Y(X)\leq z}}\right]\phi'(z)dz = E\left[e^X(A-Y(X))\int_{\mathbb{R}} \chi_{{Y(X)\leq z}}\phi'(z)dz\right]$$

• 第二步：计算内层积分
  固定$Y(X)=y$，内层积分可以通过分部积分（因$\phi$紧支，边界项为0）计算：
  $$\int_{\mathbb{R}} \chi_{{y\leq z}}\phi'(z)dz = \int_{y}^{\infty}\phi'(z)dz = \phi(\infty) - \phi(y) = -\phi(y)$$
  把结果代回后，左边的积分就变成：
  $$-E\left[e^X(A-Y(X))\phi(Y(X))\right]$$

• 第三步：推导弱导数的表达式
  回到弱导数的定义式，两边消去负号后可得：
  $$\int_{\mathbb{R}} F'(z)\phi(z)dz = E\left[e^X(A-Y(X))\phi(Y(X))\right]$$
  这说明，$F(z)$的弱导数本质上是一个随机测度的期望：对于任意Borel集$B$，该测度在$B$上的取值为$E\left[e^X(A-Y(X))\chi_{{Y(X)\in B}}\right]$。如果用你提到的delta测度来描述，就是在分布意义下：
  $$F'(z) = e^X(A-Y(X))\delta_{Y(X)}(z)$$
  这里的$\delta_{Y(X)}(z)$是随机Dirac测度，代表把权重$e^X(A-Y(X))$集中在点$Y(X)$处的测度。

• 额外注意点

  • 千万别试图对指示函数求点态导数，因为它在$z=Y(X)$处不连续，点态导数根本不存在，必须通过测试函数的配对来定义弱导数。
  • 交换期望和积分的前提是满足可积性条件，比如$E[e^X|A-Y(X)|]<\infty$，这个条件需要你根据具体问题验证。
  • 后续如果需要用这个导数做积分运算，直接用上面的测试函数配对公式即可，不用纠结它的“点态值”。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者marc