大家好，我在研究2010年IMO第6题的时候，发现了一个关于向量集序列的有趣性质，但自己没法证明，想请社区里的朋友们帮忙看看。

向量序列的定义 #

首先明确一下这个序列的构造：对于任意正整数$n$，我们从$n$个基础单元素向量集开始：
$$\begin{aligned} b_1&={[1,0,0,\ldots,0,0]}, \ b_2&={[0,1,0,\ldots,0,0]}, \ &\vdots \ b_n&={[0,0,0,\ldots,0,1]}\end{aligned}$$
当$i > n$时，每个集合$b_i$由之前的集合两两相加生成：
$$b_i = \bigcup_{j=1}^{i-1} (b_j+b_{i-j}),$$
这里的集合和指的是两两取集合中的元素，然后逐分量相加，举个具体的例子：
$$\begin{aligned}{[0,1],,[0,2]}+{[0,3],,[0,5]}&={[0,1]+[0,3],,[0,1]+[0,5],,[0,2]+[0,3],,[0,2]+[0,5]}\ &={[0,4],,[0,6],,[0,5],,[0,7]}.\end{aligned}$$

已验证的点积性质 #

我已经证明了一个基础性质：对于任意$e \in b_i$，$e$和向量$[1, 2, \ldots, n]$的点积恰好等于$i$。这个用归纳法就能轻松搞定，利用点积的分配律就行，过程很直观。

待证的核心猜想 #

我真正想证明的是：给定任意$n$，当$i$足够大时，集合$b_i$会包含所有满足以下两个条件的整数分量向量$e$：

• $e$与$[1, 2, \ldots, n]$的点积为$i$；
• 对于每个$1 \le k \le n$，$e$的第$k$个分量落在$b_i$中所有向量第$k$个分量的最小值和最大值之间。

多项式转化的巧妙技巧 #

我发现把向量问题转化为多项式问题后，很多性质会变得更自然：

• 把向量$[1,0,\dots,0]$对应成多项式$x$，$[0,0,\dots,1]$对应成$x^n$，向量的分量就是多项式的系数，向量的逐分量相加对应多项式的加法（核心性质都能保留）。
• 用这个视角看，向量$e$和$[1,2,\dots,n]$的点积，正好等于对应多项式$P(x)$在$x=1$处的导数值$P'(1)$。比如：
  • $b_1={x}$，导数是${1}$，代入$x=1$得1，和点积结果一致；
  • $b_2={x^2}$，导数是${2x}$，代入$x=1$得2，也符合点积性质。

用这个多项式的思路，之前的点积性质可以用归纳法更流畅地证明，因为递推关系在导数操作下是保持的。

关于集合基数的直觉想法 #

我觉得计算$|b_i|$（也就是$b_i$的元素个数）可能是证明猜想的突破口——如果猜想成立，$|b_i|$应该能得到一个简洁的公式。

另外我还有个直觉：对于任意$n$，存在$n$个整数$x_1,x_2,\dots,x_n$，如果我们定义一个新的序列$c_i$，初始条件为：
$$c_1={[x_1]},c_2={[x_2]},...,c_n={[x_n]}$$
并且遵循和$b_i$完全一样的递推规则，那么当$i$足够大时，$|c_i|=|b_i|$。

以$n=2$为例的验证 #

当$n=2$时，原序列初始是$b_1={[1,0]},b_2={[0,1]}$。如果换一组初始多项式：$b_1={x^3},b_2={x2}$，求导后代入$x=1$得到新的初始序列$c_1={3},c_2={2}$。观察发现，原向量集中的$[x,y]$和$[x+2y,3x+2y]$是一一对应的，而$x+2y$在每个$b_i$中是固定的（就是$i$），所以$|b_i|$等于$3x+2y$的不同取值个数，也就是$|c_i|$。

我觉得这个降维思路可以推广：把$n$维向量的问题逐步转化为$n-1$维，最终甚至能降到1维问题。

构造这类整数的思路 #

其实找有理数也足够，无理数反而更容易构造：
取前$n$个素数$p_1,p_2,\dots,p_n$，定义映射：
$$v=[e_1,e_2,\dots,e_n] \to e_1\sqrt{p_1}+e_2\sqrt{p_2}+\dots+e_n\sqrt{p_n}$$
这个映射是单射（数论里的结论），用这个映射处理原初始向量就能得到需要的$x_i$。当然也可以用足够接近的有理数近似，使得对于足够大的$i$，$|c_i|=|b_i|$。

希望大家能帮忙看看怎么证明那个核心猜想，有没有我漏掉的简单思路？谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lucid