我目前正在学习线性代数，所以我的问题可能存在一些不准确的地方，还请各位大佬多多指点。

我了解到一种幂零矩阵的构造方法，具体步骤如下：

• 随机选取一个首一多项式 $f(x)=x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_0$；
• 求出多项式 $g(x)=f(x)^k$ 对应的友矩阵 $C$；
• 令幂零矩阵 $B=f(C)$。

这个构造思路来自一个数学问题的解答，不过由于我还没接触过相关的核心定理，现在有点拿不准：把友矩阵 $C$ 代入多项式 $f(x)$ 得到的矩阵 $B$，是否真的满足 $B^k=0$ 呢？希望能得到大家的求证和解释。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者X.H. Yue