设$(X,\Sigma)$是可测空间，$f:X\to \mathbb{R}^d$是可测函数，$\Vert \cdot \Vert$是$\mathbb{R}^d$上的任意范数。如何证明存在简单函数序列$(\varphi_n){n\in\mathbb{N}}$，使得对任意$x\in X$和$n\in\mathbb{N}$，有$\lim{n\to\infty}\varphi_n(x)=f(x)$，且$\Vert \varphi _n(x)\Vert \leq \Vert \varphi _{n+1}(x)\Vert \leq \Vert f(x)\Vert$？

我已经知道当$\Vert \cdot \Vert$是欧几里得范数时怎么证明，但不知道如何推广到$\mathbb{R}^d$上的任意范数。

别担心，核心思路其实和欧几里得范数的情况类似，关键是利用有限维赋范空间上所有范数等价这个重要性质——这是$\mathbb{R}^d$作为有限维空间的特有优势，能帮我们把已知结论顺利平移过来。下面给你两种可行的思路：

思路一：直接针对目标范数构造划分 #

这种方法最直观，完全绕开欧几里得范数的限制：

• 对每个自然数$n$，我们把$\mathbb{R}^d$中范数不超过$n$的区域，用范数的等距网格划分：
  • 定义集合$B_0 = { y\in\mathbb{R}^d \mid |y|=0 }$，再对$k=1,2,\dots,n\cdot2^n$，定义$B_k = { y\in\mathbb{R}^d \mid \frac{k-1}{2^n} \leq |y| < \frac{k}{2^n} }$，最后加上$B_{n\cdot2^n+1} = { y\in\mathbb{R}^d \mid |y| \geq n }$。
  • 因为$f$是可测函数，所以每个$f^{-1}(B_k)$都是$\Sigma$-可测集。
  • 对每个$B_k$（$k\geq1$），选取一个点$y_k\in B_k$（比如取范数恰好为$\frac{k-1}{2^n}$的点，保证$|y_k|$落在区间下界），然后定义简单函数$\varphi_n(x)$：
    $$
    \varphi_n(x) =
    \begin{cases}
    y_k & \text{若 } x\in f^{-1}(B_k),\ 0\leq k\leq n\cdot2^n \
    0 & \text{若 } x\in f^{{-1}(B_{n\cdot2}n+1})
    \end{cases}
    $$

现在验证这个序列的性质：

1. 逐点收敛性：
   • 若$|f(x)|=0$，则$f(x)=0$，所有$\varphi_n(x)=0=f(x)$，自然收敛。
   • 若$|f(x)|>0$，当$n$足够大时，$|f(x)|<n$，此时$\varphi_n(x)$的范数与$|f(x)|$的差小于$\frac{1}{2^n}$，当$n\to\infty$时，这个差值趋于0，所以$\varphi_n(x)\to f(x)$。
2. 范数的单调性与有界性：
   • 对任意$x$，$|\varphi_n(x)|$显然不超过$|f(x)|$（因为$\varphi_n(x)$的取值要么是0，要么是范数小于等于$|f(x)|$的点）。
   • 当$n$增大时，网格划分更细，$\varphi_{n+1}(x)$对应的范数区间是$\varphi_n(x)$对应区间的子区间，其下界不会比之前的小，因此$|\varphi_n(x)| \leq |\varphi_{n+1}(x)|$。

思路二：利用范数等价性平移欧几里得范数的结论 #

如果你想沿用欧几里得范数的已知结论，可以这么做：

1. 先构造欧几里得范数$|\cdot|2$下的满足条件的简单函数序列$(\psi_n)$：$\lim{n\to\infty}\psi_n(x)=f(x)$，且$|\psi_n(x)|2 \leq |\psi{n+1}(x)|_2 \leq |f(x)|_2$。
2. 因为$\mathbb{R}^{d$是有限维空间，存在正的常数$C_1,C_2$，使得对所有$y\in\mathbb{R}}d$，有$C_1|y|_2 \leq |y| \leq C_2|y|_2$。
3. 对每个$\psi_n$，我们可以调整其取值：把$\psi_n(x)$替换为一个与$f(x)$同方向（或范数比例匹配）的点，使得新的简单函数$\varphi_n(x)$满足$|\varphi_n(x)|$单调不减且不超过$|f(x)|$。不过这种方法需要额外验证调整后的函数依然是简单函数，不如思路一直接。

总之，有限维空间的范数等价性是解决这个问题的核心钥匙，只要抓住这一点，不管哪种范数都能构造出符合要求的简单函数序列。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rfloc