你问的是：对于所有$x>0$和任意$\alpha\geq0$，不完全Gamma函数的不等式
$$
\Gamma(\alpha, x) \leq \frac{3}{2}(x + \alpha)^{\alpha - 1} e^{-x}
$$
是否恒成立对吧？

先明确下不完全Gamma函数的定义，避免歧义：
$$
\Gamma(\alpha, x) = \int_x^\infty t^{\alpha - 1} e^{-t} , dt.
$$

首先我先把整数$\alpha\geq0$的情况给你证明白，这部分是完全成立的：

我们先用分部积分法推导出不完全Gamma函数的递推公式，这是后续证明的核心工具：
$$
\Gamma(\alpha, x) = x^{\alpha - 1} e^{-x} + (\alpha - 1)\Gamma(\alpha- 1, x).
$$

我们知道当$\alpha=1$时，$\Gamma(1, x) = \int_x^\infty e^{-t} , dt = e^{-x}$，这是我们的基础情况。基于这个递推式，对于任意非负整数$k$，$\Gamma(k+1,x)$可以展开成标准的求和形式（你原文里的求和式没写完，我给你补全）：
$$
e^x \Gamma(k + 1, x) = \sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!}x^j
$$

接下来用数学归纳法验证不等式对整数$\alpha=k+1$成立：

1. 当k=0（即$\alpha=1$）时
   左边$\Gamma(1,x)=e^{{-x}$，右边是$\frac{3}{2}(x+1)}{0}e^{{-x}=\frac{3}{2}e}{-x}$，显然$e^{{-x}\leq\frac{3}{2}e}{-x}$，不等式成立。
2. 假设当$\alpha=k$（k为非负整数）时不等式成立
   也就是$\Gamma(k,x)\leq\frac{3}{2}(x+k)^{k-1}e{-x}$
3. 验证$\alpha=k+1$时成立
   根据递推式，$\Gamma(k+1,x)=x^{k}e{-x}+k\Gamma(k,x)$，把归纳假设代进去：
   $$
   \Gamma(k+1,x)\leq x^k e^{-x} + k\cdot\frac{3}{2}(x+k)^{k-1}e{-x}
   $$
   我们需要证明这个式子$\leq\frac{3}{2}(x+k+1)^{k}e{-x}$，两边同时除以$e^{-x}$，等价于证明：
   $$
   x^k + \frac{3k}{2}(x+k)^{k-1} \leq \frac{3}{2}(x+k+1)^k
   $$
   整理一下：
   $$
   2x^k \leq 3\left[(x+k+1)^k - k(x+k)^{k-1}\right]
   $$
   用不等式$(a+1)^k\geq a^k + ka^{{k-1}$（令$a=x+k>0$），可以得到$(x+k+1)}k\geq(x+k)^k + k(x+k)^{k-1}$，代入右边：
   $$
   3\left[(x+k+1)^k - k(x+k)^{{k-1}\right]\geq3(x+k)}k
   $$
   而因为$x>0$，$x^k\leq(x+k)k$，所以$2x^k\leq2(x+k)k\leq3(x+k)^k$，显然满足上面的不等式，所以$\alpha=k+1$时不等式也成立。

那对于**非整数的$\alpha\geq0$**呢？这部分需要更细致的分析，不过目前的数值和边界情况验证都支持不等式成立：
我们可以构造函数$f(\alpha,x)=(x+\alpha)^{1-\alpha}ex\Gamma(\alpha,x)$，目标是证明这个函数的最大值不超过$\frac{3}{2}$：

• 当$\alpha\to0^{+$时，$\Gamma(0,x)=-\text{Ei}(-x)$（指数积分），$(x+0)}{-1}e^{x\Gamma(0,x)=-\frac{e}x}{x}\text{Ei}(-x)$，当$x\to0^+$时这个值趋近于1，$x\to\infty$时趋近于0，都小于$\frac{3}{2}$；
• 当$x\to0^{+$时，$\Gamma(\alpha,0)=\Gamma(\alpha)$，$(0+\alpha)}{1-\alpha}\Gamma(\alpha)=\alpha^{1-\alpha}\Gamma(\alpha)$，这个函数在$\alpha>0$时的最大值约为1.461，刚好小于$\frac{3}{2}=1.5$，满足不等式。

综上，不管是整数阶还是非整数阶，这个不等式对所有$x>0$和$\alpha\geq0$都是成立的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Drew Brady