嗨，我来帮你接着往下推导～你已经找对方向啦，用韦达定理拿到了核心的三个关系式，现在卡在展开后的下一步，其实用两个小技巧就能轻松搞定：

首先，先利用韦达定理里的$a+b+c=p$，把式子中的$a+b$替换成$p - c$（因为$a+b = (a+b+c) - c = p - c$），这样你之前得到的$(q+c^2)(a+b)$就可以转化为：
$$(q + c^2)(p - c) = pq - qc + pc^2 - c^3$$

接下来，别忘了$c$是原方程$x^3 - px^2 + qx - r=0$的根，所以把$x=c$代入方程必然成立：
$$c^3 - pc^2 + qc - r = 0$$
整理一下就能得到$c^3$的表达式：
$$c^3 = pc^2 - qc + r$$

现在把这个$c^3$代入刚才展开的式子中：
$$pq - qc + pc^2 - (pc^2 - qc + r)$$
去括号后逐项抵消化简：
$$pq - qc + pc^2 - pc^2 + qc - r = pq - r$$

另外给你补充一个更直接的思路：因为$b+c = p - a$，$c+a = p - b$，$a+b = p - c$，所以原式可以直接写成$(p-a)(p-b)(p-c)$，展开这个式子后用韦达定理代入，也能得到相同的结果，感兴趣的话可以自己试试哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者littlesniper23