嘿，我来帮你检查拉普拉斯变换的步骤啦！你目前完成的开头部分完全没问题，咱们一步步捋清楚：

首先你给出的原方程是：
$$\frac{d^2y}{dt2}+4\frac{dy}{dt}+4y=e^{-2t},y(0)=1,y'(0)=0$$

你将其整理为标准形式 $y'' +4y'+4y=e^{-2t}$，然后对等式两边取拉普拉斯变换、拆分线性组合的变换，这几步都做得很对——拉普拉斯变换的线性性质用得相当到位，没毛病！

接下来你查拉普拉斯变换表得到的几个核心公式也完全正确：
$$\begin{align}
\mathcal L \lbrace y'' \rbrace &: s^2\mathcal L \lbrace y \rbrace - sy(0)-y'(0) \
\mathcal L \lbrace y' \rbrace &: s\mathcal L \lbrace y \rbrace - y(0) \
\mathcal L \lbrace e^{-2t} \rbrace &: \frac{1}{s+2}
\end{align}$$

咱们继续把初始条件代入推进，设 $Y(s) = \mathcal L \lbrace y \rbrace$，代入 $y(0)=1$，$y'(0)=0$：

• $\mathcal L \lbrace y'' \rbrace = s^2Y(s) - s\cdot1 - 0 = s^2Y(s) - s$
• $4\mathcal L \lbrace y' \rbrace = 4\left(sY(s) - 1\right) = 4sY(s) - 4$
• $4\mathcal L \lbrace y \rbrace = 4Y(s)$

把这些代入变换后的等式，右边是 $\frac{1}{s+2}$，整体等式变为：
$$s^2Y(s) - s + 4sY(s) - 4 + 4Y(s) = \frac{1}{s+2}$$

合并含 $Y(s)$ 的项：
$$Y(s)(s^2 + 4s + 4) - s - 4 = \frac{1}{s+2}$$

注意到 $s^2 +4s +4=(s+2)^2$，移项后得到：
$$Y(s)(s+2)^2 = \frac{1}{s+2} + s + 4$$

对右边通分并化简分子：
$$Y(s)(s+2)^2 = \frac{1 + (s+4)(s+2)}{s+2} = \frac{s^2+6s+9}{s+2} = \frac{(s+3)^2}{s+2}$$

两边除以 $(s+2)^2$，得到 $Y(s)$ 的表达式：
$$Y(s) = \frac{(s+3)^2}{(s+2)3}$$

接下来拆分分式方便做逆拉普拉斯变换，把分子展开为 $(s+2+1)^2=(s+2)2 + 2(s+2) +1$，则：
$$Y(s) = \frac{(s+2)^2 + 2(s+2) +1}{(s+2)^3} = \frac{1}{s+2} + \frac{2}{(s+2)^2} + \frac{1}{(s+2)^3}$$

最后查逆变换表，结合公式 $\mathcal L^{-1}\left{\frac{1}{s+a}\right} = e^{-at}$、$\mathcal L^{{-1}\left{\frac{1}{(s+a)}2}\right}=t e^{-at}$、$\mathcal L^{{-1}\left{\frac{1}{(s+a)}3}\right}=\frac{1}{2}t^2 e^{-at}$，代入 $a=2$ 得到原方程的解：
$$y(t) = e^{-2t} + 2t e^{-2t} + \frac{1}{2}t^2 e^{-2t} = e^{-2t}\left(1 + 2t + \frac{1}{2}t^2\right)$$

你之前的步骤到代入变换公式阶段都是完全正确的，要是后续卡壳，照着上面的流程推进就好啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kernel Sanders