咱们来一步步验证$X_{(1)} - \theta$是枢轴量哈，先明确前提：$X_i$是独立同分布的随机变量，服从均匀分布$U(\theta, \theta+1)$，其中$\theta \in \mathbb{R}$。

首先得回忆下枢轴量的核心定义：它是样本和未知参数的函数，其概率分布完全不依赖任何未知参数。所以我们的目标就是证明$X_{(1)} - \theta$的分布和$\theta$没关系。

步骤1：求样本最小值$X_{(1)}$的CDF #

顺序统计量里样本最小值的CDF有个通用公式：
$$F_{X_{(1)}}(x) = 1 - \prod_{i=1}^n (1 - F_{X_i}(x))$$
这里的$F_{X_i}(x)$是单个$X_i$的CDF。对于$U(\theta, \theta+1)$来说，单个样本的CDF是：
$$F_{X_i}(x) = \begin{cases}
0, & x \leq \theta \
x - \theta, & \theta < x < \theta+1 \
1, & x \geq \theta+1
\end{cases}$$

把它代入到$X_{(1)}$的CDF公式里，就能得到：
$$F_{X_{(1)}}(x) = 1 - (1 - (x - \theta))^n \quad \text{当} \ \theta < x < \theta+1$$

步骤2：构造$Y = X_{(1)} - \theta$并求其CDF #

我们令$Y = X_{(1)} - \theta$，接下来计算它的CDF：
$$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X_{(1)} - \theta \leq y) = P(X_{(1)} \leq \theta + y)$$

把$\theta + y$代入刚才得到的$X_{(1)}$的CDF表达式，就能简化成：
$$F_Y(y) = 1 - (1 - y)^n \quad \text{当} \ 0 < y < 1$$

步骤3：求$Y$的PDF并验证与$\theta$无关 #

对$F_Y(y)$关于$y$求导，就能得到$Y$的概率密度函数：
$$f_Y(y) = n(1 - y)^{n-1} \quad \text{当} \ 0 < y < 1$$

你看这个PDF里完全没有$\theta$的身影，说明$Y = X_{(1)} - \theta$的分布不依赖于未知参数$\theta$，完全符合枢轴量的定义，所以它确实是一个有效的枢轴量。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maale Faustus