当然可以搞定！不用复分析那套围道积分，咱们用实分析里的含参变量积分技巧就能完美解决，全程碰都不用碰复数。

首先明确我们要计算的积分：
$$\int_0^\infty \dfrac{x \sin(2 x)}{x^2 + 3} dx$$

步骤1：构造含参变量积分 #

我们先定义一个带参数 (a) 的积分，目标积分就是这个函数在 (a=2) 时的值：
$$I(a) = \int_0^\infty \dfrac{x \sin(a x)}{x^2 + 3} dx$$

步骤2：利用已知的实积分结论（无复数推导） #

先回忆一个可以用实分析方法推导的经典积分结果：对于 (b>0, c>0)，有
$$J(b) = \int_0^\infty \dfrac{\cos(bx)}{x^2 + c^2} dx = \frac{\pi}{2c} e^{-bc}$$
（这个结果的实分析推导：对 (J(b)) 求二阶导可得微分方程 (J''(b) = c^2 J(b))，结合边界条件 (J(0)=\frac{\pi}{2c}) 和 (b\to+\infty) 时 (J(b)\to0)，就能解出这个表达式）

步骤3：建立 (I(a)) 和 (J(a)) 的关系 #

观察 (J(a)) 对 (a) 求导的结果：
$$J'(a) = \frac{d}{da} \int_0^\infty \dfrac{\cos(a x)}{x^2 + 3} dx = -\int_0^\infty \dfrac{x \sin(a x)}{x^2 + 3} dx$$
你会发现这正好是 (-I(a))，也就是：
$$I(a) = -J'(a)$$

步骤4：计算导数并代入参数 #

我们已经知道 (J(a) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} e^{-a\sqrt{3}})，对其求导：
$$J'(a) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3}) e^{-a\sqrt{3}} = -\frac{\pi}{2} e^{-a\sqrt{3}}$$
因此：
$$I(a) = -J'(a) = \frac{\pi}{2} e^{-a\sqrt{3}}$$

最后代入 (a=2)，就得到原积分的结果：
$$\int_0^\infty \dfrac{x \sin(2 x)}{x^2 + 3} dx = \frac{\pi}{2} e^{-2\sqrt{3}}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者heyhellohi2