嘿，我来帮你理清楚这个递推的解法！你遇到的这种分式线性递推（也就是形如$a_{n+1}=\frac{Ax_n+B}{Cx_n+D}$的递推），最常用的方法是不动点法，比迭代靠谱多了，咱们一步步拆解：

第一步：找递推的不动点 #

不动点就是满足$x=\frac{10}{7-x}$的x值，解这个方程：
$$
x(7-x)=10 \implies x^2-7x+10=0
$$
因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，所以两个不动点是$x=2$和$x=5$。

第二步：构造辅助等比数列 #

对于有两个不同不动点的分式递推，我们可以构造新序列$b_n=\frac{a_n-2}{a_n-5}$，这个序列会变成等比数列，咱们验证一下：
$$
b_{n+1}=\frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}-5}=\frac{\frac{10}{7-a_n}-2}{\frac{10}{7-a_n}-5}
$$
对分子分母分别通分计算：

• 分子：$10-2(7-a_n)=10-14+2a_n=2(a_n-2)$
• 分母：$10-5(7-a_n)=10-35+5a_n=5(a_n-5)$

代入后可得：
$$
b_{n+1}=\frac{2(a_n-2)}{5(a_n-5)}=\frac{2}{5} \cdot \frac{a_n-2}{a_n-5}=\frac{2}{5}b_n
$$
没错，$b_n$是公比为$\frac{2}{5}$的等比数列！

第三步：求辅助序列的通项 #

先算初始项$b_1$，已知$a_1=4$：
$$
b_1=\frac{4-2}{4-5}=\frac{2}{-1}=-2
$$
等比数列的通项公式是$b_n=b_1 \cdot q^{n-1}$，代入得：
$$
b_n=-2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{{n-1}=-\frac{2}n}{5^{n-1}}
$$

第四步：还原回原序列$a_n$ #

把$b_n=\frac{a_n-2}{a_n-5}$代入通项，解方程求$a_n$：
$$
\frac{a_n-2}{a_n-5}=-\frac{2^n}{5{n-1}}
$$
交叉相乘展开：
$$
(a_n-2) \cdot 5^{n-1}=-2n(a_n-5)
$$
把含$a_n$的项移到左边，常数项移到右边：
$$
a_n \cdot 5^{n-1} + 2^n a_n =5 \cdot 2^n + 2 \cdot 5^{n-1}
$$
提取$a_n$并两边乘以5简化：
$$
a_n(5^n +5 \cdot 2^n)=25 \cdot 2^n +2 \cdot 5^n
$$
最后整理出$a_n$：
$$
a_n=\frac{25 \cdot 2^n +2 \cdot 5^n}{5n +5 \cdot 2^n}=2+\frac{15 \cdot 2^n}{5n +5 \cdot 2^n}
$$
这就和你提到的结果完全一致啦！

另外说一句，迭代法确实容易陷入嵌套分式的混乱，看不出规律，而生成函数对这种非线性递推也不太友好，不动点法才是这类问题的标准解法哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Reuben Miller