嘿，我来帮你一步步梳理这个复变函数的洛朗级数问题，咱们从题目开始：

给定函数 $f(z) = \frac{1}{(z + 1)(z + 2)}$，考虑它在解析的环形域 $3 < \lvert z - 1 \rvert < \infty$ 内的(1)洛朗级数展开和(2)收敛域（对应环形域的范围）。

第一步：部分分式分解 #

首先咱们把原函数拆成更易处理的简单分式，这是复变级数展开里常用的技巧：
$$f(z) = \frac{1}{z + 1} - \frac{1}{z + 2}$$

第二步：分别对两个分式做几何级数展开 #

因为咱们的环域是 $3 < |z-1| < \infty$，也就是 $|z-1|$ 足够大，所以要把每个分式写成关于 $\frac{1}{z-1}$ 的级数形式，这样才能用几何级数的展开公式 $\frac{1}{1-w} = \sum_{n=0}^\infty w^n$（要求 $|w| < 1$）。

处理 $\frac{1}{z+1}$

先把分母凑成 $(z-1)$ 相关的形式：
$$\frac{1}{z + 1} = \frac{1}{(z - 1) + 2} = \frac{1}{(z - 1)\left(1 - \left(-\frac{2}{z - 1}\right)\right)}$$
因为 $|z-1| > 3 > 2$，所以 $\left| -\frac{2}{z-1} \right| = \frac{2}{|z-1|} < 1$，满足几何级数的收敛条件，代入展开公式：
$$\frac{1}{z + 1} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot 2^n}{(z - 1)^{n + 1}}$$
如果把求和下标调整一下（令 $k = n+1$，则 $n = k-1$），也可以写成：
$$\frac{1}{z + 1} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n - 1} \cdot 2^{n - 1}}{(z - 1)^n}$$

处理 $\frac{1}{z+2}$

同样先凑分母：
$$\frac{1}{z + 2} = \frac{1}{(z - 1) + 3} = \frac{1}{(z - 1)\left(1 + \frac{3}{z - 1}\right)} = \frac{1}{(z - 1)\left(1 - \left(-\frac{3}{z - 1}\right)\right)}$$
因为 $|z-1| > 3$，所以 $\left| -\frac{3}{z-1} \right| = \frac{3}{|z-1|} < 1$，同样用几何级数展开：
$$\frac{1}{z + 2} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot 3^n}{(z - 1)^{n + 1}}$$
调整下标后得到：
$$\frac{1}{z + 2} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n - 1} \cdot 3^{n - 1}}{(z - 1)^n}$$

第三步：合并得到$f(z)$的洛朗级数 #

把两个分式的级数相减，合并同次项：
$$
\begin{align*}
f(z) &= \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n - 1} \cdot 2^{n - 1}}{(z - 1)^n} - \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n - 1} \cdot 3^{n - 1}}{(z - 1)^n} \
&= \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{n-1} - 3^{n-1}}{(z - 1)^n} \
&= \sum_{n = 1}^\infty (-1)^n \cdot \frac{3^{n-1} - 2^{n-1}}{(z - 1)^n}
\end{align*}
$$

第四步：确定收敛域（对应环形范围） #

咱们来核对两个级数的收敛条件：

• $\frac{1}{z+1}$ 的级数要求 $|z-1| > 2$
• $\frac{1}{z+2}$ 的级数要求 $|z-1| > 3$

两个级数同时收敛的范围是它们的交集，也就是 $|z-1| > 3$，再结合题目给定的环域上限 $\infty$，最终这个洛朗级数的收敛域就是 $3 < |z-1| < \infty$，这里的内“半径”是3，外“半径”是$\infty$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TripleM