嗨，我来一步步帮你解决这个问题，思路很清晰，咱们从整理抛物线开始：

• 第一步：明确抛物线的有效区域
  给定的抛物线是 $y = \frac{1}{8}(42x - 15x^2)$，整理成标准二次形式是 $y = -\frac{15}{8}x^2 + \frac{21}{4}x$，这是开口向下的抛物线。

要找y≥0的区域（也就是矩形能存在的范围），令y=0解方程：
$\frac{1}{8}(42x - 15x^2) = 0$
解得x=0 或者 $x = \frac{42}{15} = \frac{14}{5} = 2.8$。所以我们只需要考虑x在[0, 2.8]之间的部分。

• 第二步：建立矩形面积的表达式
  假设矩形底部在x轴上，左右端点为x和x'（x < x'），顶部两个顶点都在抛物线上，所以这两个点的y值相等。利用抛物线的对称性，对称轴是$x = \frac{7}{5} = 1.4$，因此x和x'关于对称轴对称，即$x + x' = \frac{14}{5}$，所以$x' = \frac{14}{5} - x$。

矩形的宽度就是$w = x' - x = \frac{14}{5} - 2x$，高度就是抛物线在x处的y值$h = \frac{1}{8}(42x - 15x^2)$，因此面积公式为：
$S = (\frac{14}{5} - 2x) \times \frac{1}{8}(42x - 15x^2)$

• 第三步：求解最大面积
  我们通过求导找极值点：
  先展开化简面积表达式：
  $S = \frac{1}{8}(30x^3 - 126x^2 + \frac{588}{5}x)$

对x求导：
$S' = \frac{1}{8}(90x^2 - 252x + \frac{588}{5})$

令导数为0，解方程$90x^2 - 252x + \frac{588}{5} = 0$，两边乘5消分母后简化为$75x^2 - 210x + 98 = 0$，用求根公式得到：
$x = \frac{7(3\pm\sqrt{3})}{15}$

将x代入宽度和高度公式计算，得到最大面积为：
$S = \frac{343\sqrt{3}}{150} \approx 3.96$

这个结果就是矩形能达到的最优面积啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gupert