我最近在看非零且两两正交的向量组线性无关的证明，过程是这样的：

假设$v_1, \dots, v_n$是非零且两两正交的向量，现在假设存在一组系数$\alpha_1, \dots, \alpha_n$使得：
$$\alpha_1v_1 + \dots + \alpha_nv_n = 0$$

接下来对每个$j = 1, \dots, n$，我们把等式两边和$v_j$做内积，推导过程如下：
$$
\begin{align}
0 &= \langle 0, v_j \rangle \
&= \langle \alpha_1v_1 + \dots + \alpha_n v_n, v_j \rangle \
&= \alpha_1 \langle v_1, v_j \rangle + \dots + \alpha_n \langle v_n, v_j \rangle \
&= \alpha_j \langle v_j, v_j \rangle
\end{align}
$$

因为$v_j$是非零向量，所以$\langle v_j, v_j \rangle = |v_j|^2 > 0$，由此可以推出$\alpha_j = 0$。既然每个系数都必须是0，那就说明$v_1, \dots, v_n$是线性无关的。

不过我现在有点困惑：我对线性无关的理解是，当且仅当只有全零系数能让向量的线性组合等于零向量时，这个向量组才是线性无关的。但刚才这个证明的逻辑，我总觉得哪里没绕明白——是不是这个证明刚好就是在紧扣线性无关的定义？还是我哪里理解错了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者InvestingScientist