嘿，这个问题问到点子上了，咱们一步步理清楚：

首先，你说的简单零点定义完全正确：对任意复变函数，若在零点处的一阶导数不为0，那这个零点就是简单零点，这个定义直接适用于黎曼ζ函数的零点。

你也注意到了，ζ函数的级数形式$\zeta(s) = \sum n^{-s}$只在$\operatorname{Re}(s) > 1$的区域收敛，没法直接用来研究临界线（$\operatorname{Re}(s)=0.5$）上的零点。这时候我们确实要用到ζ函数的解析延拓版本——其实除了$s=1$这个极点外，整个复平面上的ζ函数都是解析延拓后的结果，常用的延拓形式包括：

• 借助函数方程：$\zeta(s) = 2^s\pi{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$，这个方程把$\operatorname{Re}(s) < 0$区域的ζ函数值和$\operatorname{Re}(s) > 1$的区域联系起来，中间的临界带区域也能通过这个方程或其他延拓方法覆盖；
• 基于围道积分的定义，这也是解析延拓的标准方式之一。

接下来重点说怎么验证像$\rho_1 = 0.5 + i14.134725\ldots$这样的零点是否简单：

• 直接计算一阶导数：如果能算出$\zeta'(\rho_1) \neq 0$，那它就是简单零点。计算时必须用解析延拓后的ζ函数表达式，不能用原始级数。
• 利用对数导数：考虑$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$，在简单零点$\rho$处，这个对数导数的留数是-1；如果是$k$重零点，留数就是$-k$。所以通过分析这个对数导数在目标零点附近的行为，就能判断零点的重数。
• 数值计算的实用方法：现在有高效的数值算法，比如黎曼-西格尔公式，它能快速计算临界线附近的ζ函数值，再配合数值微分的方法，就能得到导数的近似值，从而验证零点的单性。目前通过这种方法已经验证了前几万亿个临界线零点都是简单的。

你提到“所有已知零点都是简单的”，这完全正确。虽然还没有严格证明所有黎曼ζ函数的零点都是简单的，但现有数值结果和部分理论推导都支持这个猜想，它也是黎曼猜想相关的重要未解决问题之一。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zeynel