工科学生关于组合恒等式∑ₘ=ₖᴺ C(m,k)=C(N+1,k+1)的归纳法证明问询

我是一名工科学生，目前正在尝试证明下面这个组合数学恒等式：
$$\sum_{m=k}^{N} C(m,k) = C(N+1, k+1)$$

有人建议我用数学归纳法来证明，于是我试着推进了这个问题的证明，过程如下：

• 步骤1：验证当$N=k$时恒等式成立
  左边（LHS）：
  $$\sum_{m=k}^{N} C(m,k) = \sum_{m=k}^{k} C(m,k) = C(k,k) = 1$$
  右边（RHS）：
  $$C(N+1, k+1)$$
  代入$N=k$后：
  $$C(k+1, k+1) = 1$$
  左右两边相等，所以$N=k$时恒等式成立。

• 步骤2：假设当$N$取任意值时，该恒等式成立

• 步骤3：尝试证明当$N=N+1$时恒等式成立
  左边（LHS）：
  $$\sum_{m=k}^{N} C(m,k)$$
  （注：此处内容未完整呈现）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者konofoso