各位好，我最近遇到一个和分形相关的问题，想请教大家的看法：

假设我们有一个$n \times n$的正方形，按常规方式划分成$n^2$个小单元格。现在我们在其中填充$k$个单元格，满足$1 \le k \le n^2$，且$\log_n(k) > 1$（换句话说就是$k > n$）。我想知道：这种情况下，填充的单元格集合里一定会存在一条长度为$n$的连续线段吗？

这个问题是我在研究盒状分形构造时想到的。我发现如果用递归方法构造这类分形——每次从$n^2$个单元格里选$k$个保留，然后对每个保留的单元格重复这个过程——得到的分形的豪斯多夫维数总是$\log_n(k)$。在我自己试过的几个例子里，只要$\log_n(k) > 1$，这些分形里总能找到线段，比如维切克分形就是个典型例子。

不过我只试了有限的几个情况，不确定这是不是普遍成立的规律。有没有可能存在某个$n$和$k$（满足$k > n$），填充后的单元格集合里完全没有长度为$n$的线段？希望能得到大家的解答或者思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sidharth Ghoshal