嘿，这个问题挺有意思的！先把场景再捋清楚：在公平赌局里，每个玩家初始攥着10枚硬币，每局赢输概率都是0.5，输光（对应净-10）或者翻倍攒到20枚（净+10）就离场。当玩家数量极大、迭代次数足够多后，留在-10到+10各状态的玩家占比，分布居然趋近于余弦函数——你想找比麦克劳林展开验证更严谨的证明方法，对吧？

首先得夸一句，你用截断正态分布叠加再做麦克劳林展开的思路，其实已经摸到了傅里叶分析里泊松求和公式的门，这才是把你那个无限求和式和余弦函数串起来的关键工具！

先给你说泊松求和公式的核心：对于合适的函数$f(x)$，有
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(x + 2n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{f}(k) e^{\pi i k x}$$
这里$\hat{f}$是$f$的傅里叶变换。你的求和式$\sum_{-\infty}^{{+\infty}(-1)}n e^{-(x+2n)2/(2\pi)}$（我给指数补了负号，应该是正态分布的标准形式，你可能漏写啦），本质是对高斯函数做交替离散平移求和，也就是$\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n f(x+2n)$。

把它代入交替形式的泊松求和公式（可以从标准泊松公式推导出来），再结合高斯函数的傅里叶变换$\hat{f}(s) = e^{-2\pi2 s^2}$，计算后会发现只有奇数$k$的项会保留下来，虚部相互抵消后，剩下的就是实部的余弦项——也就是你得到的$\cos(\pi x / 2)$乘以一个常数系数，这个系数就是傅里叶系数计算后的结果，和你算出来的0.0921...完全一致。这个方法是从傅里叶分析的基本定理出发，一步到位完成推导，比麦克劳林展开的“验证式”证明要直接得多。

另外还有一条更贴近概率模型本身的路径：从马尔可夫链的差分方程入手。这个赌徒场景可以看成是有限状态的马尔可夫链，状态是-10到+10（其中-10和+10是吸收态），当系统达到准稳态时（玩家数量极大，各状态的玩家占比稳定），每个内部状态（-9到+9）的流入玩家数等于流出玩家数，也就是：
$$P(i) = 0.5 P(i-1) + 0.5 P(i+1)$$
这是个二阶线性齐次差分方程，通解形式就是$P(i) = A \cos(\alpha i) + B \sin(\alpha i)$。结合边界条件：当$i=-10$和$i=+10$时，玩家会离场，所以这两个状态的稳态占比为0，代入后化简就能得到和你结果一致的余弦函数形式，再通过归一化计算出常数系数就行。这条路径完全从概率模型的平衡条件出发，更直观地解释了为什么分布会是余弦函数——因为差分方程的解天生就是三角函数形式。

你用麦克劳林展开验证的方法是对的，但更偏向“结果吻合”的验证，而上面这两种方法是从基本定理出发的正向推导，既严谨又能帮你理解背后的数学逻辑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rich