嘿，我最近碰到这么个六次方程的问题，想问问有没有更顺畅的解法，或者帮我看看我当前的步骤有没有问题：

问题描述 #

已知方程 $2000x^6 + 100x^5 + 10x^3 + x - 2 = 0$ 有一个根的形式为 $\frac{m+\sqrt{n}}{r}$，其中 $m$ 是非零整数，$r$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m + n + r$ 的值。

我的初步解法思路 #

我一开始尝试把含2的项移到另一边，提取公因子后得到：

$-2(1000x^6 - 1) = 100x^5 + 10x^3 + x$

然后我注意到右边的三项 $100x^5, 10x^3, x$ 是等比数列（公比为 $\frac{1}{10x^2}$），于是用等比数列求和公式来化简右边：
右边的和为 $\frac{x(1000x^6 - 1)}{10x^2 - 1}$（这里我之前的步骤里符号写错了，应该是 $1000x^6 -1$ 不是 $+1$）

把这个代入原等式后，就可以提取公因式 $(1000x^6 -1)$，得到两种情况：

1. $1000x^6 -1 = 0$：这时候的根是 $x^6 = \frac{1}{1000}$，显然不符合题目要求的 $\frac{m+\sqrt{n}}{r}$ 形式（是无理数但不是带根号的线性形式）
2. 另一种情况是消去 $(1000x^6 -1)$ 后得到的二次方程：$-2 = \frac{x}{10x^2 -1}$，整理后就是 $20x^2 + x - 2 = 0$

解这个二次方程，用求根公式得到 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 160}}{40} = \frac{-1 \pm \sqrt{161}}{40}$。题目里说根的形式是 $\frac{m+\sqrt{n}}{r}$，对应 $m=-1$，$n=161$，$r=40$——检查一下，$n=161$ 和 $r=40$ 确实互质（161=7×23，40=2³×5，没有公共质因子），$m=-1$ 是非零整数，完全符合条件。

所以最终 $m + n + r = -1 + 161 + 40 = 200$。

不过我还是有点不确定自己的步骤有没有疏漏，或者有没有更简洁的方法直接找到这个二次因子？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aakash Mutum