别担心，这样的序列是存在的！不过要注意的是，这两个级数不能同时绝对收敛（后面会解释原因），但我们可以构造条件收敛的例子来满足要求。

构造的序列例子 #

取序列 $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$，显然对所有自然数 $n$，$a_n \neq 0$，完全符合题目要求。

证明两个级数的收敛性 #

1. 证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛

这个级数是经典的交错调和级数：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}
$$
我们用莱布尼茨判别法验证收敛性：

• 通项的绝对值 $\frac{1}{n}$ 是单调递减的序列；
• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。
  满足莱布尼茨判别法的全部条件，因此该级数收敛。

2. 证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 a_n}$ 收敛

先化简该级数的通项：
$$
\frac{1}{n^2 a_n} = \frac{1}{n^2 \cdot \frac{(-1)^n}{n}} = \frac{(-1)^n}{n}
$$
可以看到，这个级数和第一个级数完全相同，同样满足莱布尼茨判别法的条件，因此也收敛。

为什么绝对收敛的序列无法满足要求 #

假设存在非零序列 $(a_n)$ 使得 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 |a_n|}$ 都绝对收敛，根据柯西-Schwarz不等式：
$$
\left( \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \right) \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 |a_n|} \right) \geq \left( \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{|a_n| \cdot \frac{1}{n^2 |a_n|}} \right)^2 = \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \right)^2
$$
但右边的调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的，平方后仍然发散；而左边是两个收敛级数的乘积，结果为有限值，这就产生了矛盾。因此两个级数不可能同时绝对收敛——这也是你之前尝试绝对收敛的序列（比如 $\frac{1}{n^2}$、$\frac{1}{n(n+1)}$）找不到解的核心原因。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CaptSellerie