嘿，咱们先把你的问题拆成两部分慢慢理清楚——怎么判断一个指数函数是不是经过了变换，以及怎么从表格里的点推导出变换后的指数函数方程。

一、怎么判断指数函数是否经过了变换？ #

你提到的第一个例子里，三个点$(0,1.5)$、$(1,3)$、$(2,6)$，用给定的形式$y=a\times b^{x-1}$和你算出的$y=1.5\times 2^x$其实是完全等价的，咱们展开变形就能看明白：
把$y=a\times b^{x-1}$拆开来，就是$y=a\times b^x \times b^{-1} = \frac{a}{b} \times b^{x$。代入点$(1,3)$的话，$x=1$时$b}{0}=1$，所以$a=3$；再代入$(0,1.5)$，得到$1.5=3\times b^{-1}$，解得$b=2$，所以原式是$y=3\times 2^{{x-1}$，化简后就是$y=1.5\times2}x$，和你得到的“父函数形式”一模一样。

那到底怎么判断是不是变换了？核心是看你约定的“父函数”是什么。通常我们把$y=b^{x$（比如$y=2}x$）当作指数函数的父函数，如果你的函数能写成$y=k\times b^{x-h}+c$的形式，只要$k≠1$、$h≠0$、$c≠0$任意一个成立，那就是经过了变换：

• $k≠1$：代表做了垂直方向的缩放（或反射）
• $h≠0$：代表做了水平方向的平移
• $c≠0$：代表做了垂直方向的平移

不过要注意：有些形式看起来是平移后的，但化简后其实是缩放形式，比如刚才的$y=3\times2^{{x-1}$本质是$y=1.5\times2}x$，这属于垂直缩放变换，所以不能只看表面形式，得化简后对比父函数的标准形式才行。

二、从表格点推导变换后指数函数的步骤 #

你提到的第二个例子，点$(0,4)$、$(1,7)$、$(2,13)$，一眼就能看出不是单纯的$y=k\times b^x$，因为$7/4=1.75$，$13/7≈1.857$，相邻$y$值的比值不固定，这说明函数有垂直平移（也就是加了常数项$c$），这类函数的一般形式是$y=k\times b^x + c$。

具体推导可以按这几步来：

1. 先判断函数的变换类型：
   • 如果相邻点的$y$值比值固定，说明只有缩放和水平平移，用$y=k\times b^{x-h}$的形式
   • 如果相邻$y$值的比值不固定，但相邻$y$值的差值的比值固定（比如这个例子里$7-4=3$，$13-7=6$，$6/3=2$，比值固定），说明有垂直平移，用$y=k\times b^x + c$的形式
2. 代入点建立方程组求解：
   拿这个例子来说，设函数为$y=k\times b^x + c$，代入三个点：
   • $x=0$时：$4 = k\times b^0 + c → k + c = 4$
   • $x=1$时：$7 = k\times b + c$
   • $x=2$时：$13 = k\times b^2 + c$
     用后两个方程分别减去前一个方程，消去$c$：
   • $7-4 = k(b-1) → 3 = k(b-1)$
   • $13-7 = k(b^2 - b) → 6 = k b(b-1)$
     把第一个消元后的式子$k(b-1)=3$代入第二个，得到$6=3b$，解得$b=2$；再代入$3=k(2-1)$，得$k=3$；最后用$k+c=4$算出$c=1$。
3. 验证结果：
   把$k=3$、$b=2$、$c=1$代入，得到$y=3\times2^x +1$，验证三个点：$x=0$时$3+1=4$，$x=1$时$6+1=7$，$x=2$时$12+1=13$，完全符合表格里的点。

总结一下，不管是什么表格点，先观察$y$值的变化规律选对函数形式，再代入点解方程组，最后验证就行。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user386598