我现在需要解决的问题是：从以下$I(n+1)$的渐近展开式
$$
I(n+1)=\frac{1}{\sqrt{2}} n^{n/2}e{-n/2+\sqrt{n}-1/4}\left(1+\frac{7}{24\sqrt{n}}+{\cal O}\left(\frac{1}{n}\right)\right).\tag{1}
$$
推导出$a_n$的渐近展开式：
$$a_n=\frac{I(n+1)}{I(n)}=\sqrt{n}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8\sqrt{n}}+o\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)\tag{*}$$

之前看到一段相关推导提示，内容如下：

$$
I(n+1)=\frac{1}{\sqrt{2}} n^{n/2}e{-n/2+\sqrt{n}-1/4}\left(1+\frac{7}{24\sqrt{n}}+{\cal O}\left(\frac{1}{n^{3/4}}\right)\right).
$$
现在，由此推导出$a_n$的目标渐近展开式是一件“简单”的事。

编辑补充：实际上正如mercio指出的，$\mathcal{O}(n^{-3/4})$这个项会破坏渐近展开的有效性，但实际上我们有更精确的展开形式（原内容此处截断）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hbghlyj