嘿，我看你已经搞定了凸函数在0点左右导数存在的证明，现在卡在局部极小值对应的那个不等式上，别慌，咱们一步步拆解清楚～

首先先回忆凸函数的核心性质：凸函数的差商是单调不减的，也就是对任意$a < b < c$，都有$\frac{F(b)-F(a)}{b-a} \leq \frac{F(c)-F(b)}{c-b}$，这个性质是咱们推导的关键！

另外，你提到F在0点取局部极小值，那存在一个$\varepsilon>0$，当$|x| < \varepsilon$时，$F(x) \geq F(0)$（这里纠正个小细节：局部极小值的定义是$F(x) \geq F(0)$，严格局部极小才是$F(x) > F(0)$，不过凸函数的局部极小其实就是全局极小，这点后面会用到）。

接下来咱们分x的正负情况来推导：

情况1：$x > 0$ #

先取任意$0 < t < 1$，考虑点$tx$和0，根据凸函数的差商单调性，有：
$$\frac{F(tx)-F(0)}{tx - 0} \leq \frac{F(x)-F(0)}{x - 0}$$
因为$0 < tx < \varepsilon$（只要$x < \varepsilon$），而F在0点是局部极小，所以$F(tx) \geq F(0)$，左边的差商自然是非负的。当$t \to 0^{+$时，左边的极限就是右导数$F'(0}+)$，所以咱们能得到：
$$F'(0^+) \leq \frac{F(x)-F(0)}{x}$$
两边乘x（x>0，不等号方向不变），就有：
$$F(x)-F(0) \geq F'(0^+)x$$
现在看$\xi \in [F'(0^-), F'(0^+)]$，因为$\xi \leq F'(0^+)$且x>0，所以$\xi x \leq F'(0^+)x$，代入上面的式子就得到：
$$F(x)-F(0) \geq \xi x$$

情况2：$x < 0$ #

令$x = -y$（这里y>0），直接利用凸函数左差商的单调性：当$x \to 0^-$时，差商$\frac{F(x)-F(0)}{x - 0}$的极限是左导数$F'(0^-)$，且这个左差商是单调不减的。结合局部极小的条件$F(x) \geq F(0)$，x<0时$\frac{F(x)-F(0)}{x} \leq 0$，所以：
$$F'(0^-) \leq \frac{F(x)-F(0)}{x}$$
两边乘x（x<0，不等号方向反转），就得到：
$$F(x)-F(0) \geq F'(0^-)x$$
现在看$\xi \in [F'(0^-), F'(0^+)]$，因为$\xi \geq F'(0^-)$且x<0，所以$\xi x \leq F'(0^-)x$（负数乘更大的数结果更小），代入后就有：
$$F(x)-F(0) \geq \xi x$$

情况3：$x = 0$ #

这时候左边$F(0)-F(0)=0$，右边$\xi \cdot 0=0$，等号成立，显然满足不等式。

最后把三种情况合起来，不管x是正、负还是0，也不管$\xi$是$[F'(0^-), F'(0^+)]$里的哪个值，不等式$F(x)-F(0) \geq \xi x$都成立～

另外悄悄提一句：凸函数的局部极小值点其实就是全局极小值点，所以这个不等式对所有实数x都成立，不只是局部邻域里的x哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lee max