各位好，我最近在梳理经验测度相关的大数定律结果时，碰到了两个看起来相关但形式差异很大的结论，有些搞不清它们的联系，想过来请教一下大家：

我之前接触到的是这样一个结果：

(陈述1) 设 $X, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取值于 $[0,1]$ 的独立同分布随机变量，则
$$
\mathbb{E}\sup_{f \in \mathcal{F}}\left| \frac{1}{n}\sum_{i = 1} ^n f(X_i) - \mathbb{E}f(X) \right| \leq \frac{CL}{\sqrt{n}},
$$
其中 $\mathcal{F}$ 是所有 $L$-Lipschitz函数构成的函数类。

最近读一篇论文的时候，又看到了另一个相关结论：

(陈述2) 设 $\mu_n$ 是经验概率测度，$\mu$ 是原概率测度，根据「经验测度的大数定律（Glivenko-Cantelli）」，$\mu_n$ 几乎必然依弱收敛于 $\mu$。

我的困惑主要在这几点：

• 这两个结果都和经验测度的LLN挂钩，但一个给出了期望下一致收敛的速率，另一个是几乎必然的弱收敛，它们之间有什么内在关联吗？
• 它们是不是经验过程理论里不同方向的结果？
• 陈述2里提到的Glivenko-Cantelli定理，和陈述1的具体联系是什么？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Partial T