嘿，这个问题挺值得琢磨的，咱们分一般情况和你指定的凸函数特殊场景来逐一分析：

一、无额外限制的一般情况 #

首先得明确：如果仅仅知道$\int_{a}^{b}f(g(x)) \mathrm{d}x$有限，不能直接推出$g(x)$在$[a,b]$上处处有限——当然这里的“取无穷”得在测论的框架下看，毕竟单点或者零测集的异常值不影响积分收敛性。

举个直观的反例：
取区间$[a,b] = [0,1]$，定义$g(x)$为：

• 当$x \in (0,1]$时，$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$（这个函数在$x$趋近于0时趋向无穷大）
• 当$x=0$时，$g(0)=0$
  再取$f(t) = \frac{1}{1+t^2}$，这时候计算积分：
  $$\int_{0}^{1}f(g(x))dx = \int_{0}^{1}\frac{x}{x+1}dx = 1 - \ln2$$
  显然这个积分是有限的，但$g(x)$在$(0,1]$上是无界的，趋近于0时能取到任意大的有限值；如果我们把$g(0)$定义为无穷（广义函数意义下），$f(\infty)=0$，积分结果还是一样有限，这时候$g(x)$在$x=0$处取无穷，但积分依然收敛。

简单说：一般情况下，积分有限只要求$f(g(x))$可积，$g(x)$可以在零测集上取无穷，也可以整体无界，只要“大值区域”的测度足够小，或者$f$衰减得足够快。

二、你指定的凸函数场景 #

现在看你限定的$f$：$f:[0,\infty)\to [0,\infty)$是凸函数，满足：

• $f(x)=0$当且仅当$x=0$
• $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$
• $\lim_{x\to 0}f(x)=0$

首先，根据凸函数的性质，这个$f$必然是单调递增的：因为$f(0)=0$且趋向无穷，如果存在$x_1<x_2$使得$f(x_1)>f(x_2)$，那凸函数的凸性会导致当$x\to\infty$时无法趋向无穷，矛盾。

在这个前提下，我们可以得到两个关键结论：

1. $g(x)$必须在$[a,b]$上几乎处处有限（勒贝格测度意义下）：
   因为$f$单调递增趋向无穷，对于任意大的$M>0$，存在$C(M)>0$使得$f(t)\geq C(M)$当$t\geq M$。如果$g(x)\geq M$在一个正测度集$E\subset[a,b]$上成立，那积分$\int_{a}^{b}f(g(x))dx \geq \int_E C(M)dx = C(M)\cdot m(E)$，当$M\to\infty$时$C(M)\to\infty$，积分会发散，和已知的积分有限矛盾。所以$g(x)$不能在正测度集上取无穷，只能在零测集上有异常。
2. $g(x)$依然可以无界：
   举个例子，取$f(t)=\sqrt{t}$（满足所有凸函数条件：凸函数、仅在0处为0、趋向无穷、0处极限为0），$g(x)=\frac{1}{x^{1/4}}$在$[0,1]$上，计算积分：
   $$\int_{0}^{1}f(g(x))dx = \int_{0}^{1}x{-1/4}dx = \frac{4}{3}$$
   积分有限，但$g(x)$在$x\to0^+$时趋向无穷，显然无界。这说明只要$f(g(x))$的衰减速度足够快，能抵消$g(x)$的增长，积分依然收敛。

总结 #

• 一般情况：积分有限不保证$g(x)$处处有限（零测集可例外），也不保证$g(x)$有界；
• 你指定的凸函数情况：$g(x)$必须在几乎所有点取有限值（正测集不能取无穷），但仍可以无界，只要$f(g(x))$可积。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andyale