嗨，这个问题问到点子上了！这背后其实是齐次坐标（射影几何里的核心工具）的妙用，咱们慢慢捋清楚：

首先，先明确：这里的向量 $\boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix}$ 是欧几里得平面点 $(x,y)$ 的齐次坐标表示。在射影几何的框架里，平面上的点用三元组 $(x,y,z)$ 表示（其中 $z \neq 0$），它对应的欧几里得点就是 $\left( \frac{x}{z}, \frac{y}{z} \right)$——也就是说，所有成比例的三元组（比如 $(kx,ky,kz), k \neq 0$）都代表同一个射影点。

那为什么要固定 $z=1$ 呢？

• 最直接的原因：这是把欧几里得平面“嵌入”到射影空间的最直观方式。当 $z=1$ 时，射影点 $(x,y,1)$ 和欧几里得点 $(x,y)$ 是一一对应的，咱们可以直接把日常用的平面点和齐次坐标做无缝转换，不用额外计算比例。
• 从二次曲线的表示来看：方程 $\boldsymbol{a}^T Q \boldsymbol{a} = 0$ 在齐次空间里对应的是一个过原点的二次锥面——因为如果 $(x,y,z)$ 满足方程，那么 $(kx,ky,kz)$ 代入后也一定满足（所有项都会乘以 $k^2$，等式依然成立）。而固定 $z=1$，就相当于用 $z=1$ 这个平面去“切割”这个锥面，切出来的交线就是我们熟悉的欧几里得平面上的二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线等等）。
• 统一处理的优势：齐次表示能把所有二次曲线（包括退化的情况，比如两条相交直线、单个点）甚至无穷远点（对应 $z=0$ 的情况）都纳入同一个框架里。比如研究二次曲线的渐近线时，无穷远点的齐次坐标就能帮我们轻松找到渐近线的方向，这在纯欧几里得坐标下处理会麻烦很多。

咱们可以验证一下这个表示的正确性：把 $\boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix}$ 和对称矩阵
$$
Q = \begin{pmatrix}
A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \
\frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \
\frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \
\end{pmatrix}
$$
代入 $\boldsymbol{a}^T Q \boldsymbol{a}$，展开后正好就是 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，完美对应我们熟悉的二次曲线方程——这也说明 $z=1$ 的选择刚好让齐次形式和欧几里得形式无缝衔接。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Davide Masi