先把定理的核心内容明确一下：

9.28 定理：设$f$是从$\mathbb{R}^{{n+m}$中的开集$E$到$\mathbb{R}}n$的$\mathscr{C}'$映射，且对某点$(a,b)\in E$有$f(a,b)=0$。令$A=f'(a,b)$，假设$A_x$可逆。则存在开集$U\subset\mathbb{R}^{{n+m}$和$W\subset\mathbb{R}}m$，满足$(a,b)\in U$，$b\in W$，且具有如下性质：
$$(x,y)\in U\ \text{且}\ f(x,y)=0$$
（补充标准隐函数定理结论：对每个$y\in W$，存在唯一的$x\in\mathbb{R}^n$使得$(x,y)\in U$且$f(x,y)=0$，记该$x$为$g(y)$，则$g:W\to\mathbb{R}^n$是$\mathscr{C}'$映射）

很多同学会疑惑这里的$W$为什么是开集，我结合定理的证明逻辑给你拆解一下：

• 第一步，构造辅助函数$F:E\to\mathbb{R}^{n+m}$，定义为$F(x,y)=(f(x,y),y)$。计算它在$(a,b)$处的导数$F'(a,b)$，这是一个$(n+m)\times(n+m)$的分块矩阵：左上角是可逆的$A_x$，右上角是$A_y$，左下角是零矩阵，右下角是$m$阶单位矩阵。因为$A_x$可逆，整个矩阵的行列式不为零，所以$F'(a,b)$是可逆线性映射。
• 第二步，调用鲁丁书中的逆函数定理（定理9.21）：$F$在$(a,b)$的某个邻域$U_1\subset E$上是到$\mathbb{R}^{n+m}$中某个开集$V$的同胚——简单说就是$F$把$U_1$这个开集一对一映射成开集$V$，而且逆映射也是光滑的。
• 第三步，看$W$的定义：它其实是${y\in\mathbb{R}^m\mid (0,y)\in V}$。因为$F(x,y)=(f(x,y),y)$，所以$f(x,y)=0$等价于$F(x,y)=(0,y)$。既然$V$是开集，那么所有满足$(0,y)\in V$的$y$构成的集合自然也是开集——你可以直观理解：对每个$y_0\in W$，存在一个以$(0,y_0)$为中心的开球完全包含在$V$里，那么对应的$y$的邻域${y\in\mathbb{R}^m\mid |y-y_0|<\epsilon}$就全部落在$W$中，这就满足了开集的定义。
• 从直观意义上看，$W$是能找到对应$x$使得$f(x,y)=0$的$y$的取值范围，由于$f$是光滑映射，这种“可解性”在局部是连续延续的，开集正好对应这种局部的“可解区域”。

本质上，$W$的开性是逆函数定理的直接推论，通过构造辅助函数把原问题转化为开集的映射性质，就自然得到了$W$的开性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathematics enjoyer