嗨，我来帮你理清楚这个问题的思路，毕竟绝对值方程用几何意义来解确实会清晰很多，咱们一步步来拆解：

第一步：先明确方程的几何意义 #

我们知道，$|x - m|$在数轴上表示的是数轴上点x到点m的距离，所以方程左边$|x - 1| + |x - a|$就是数轴上任意一点x到点1和点a的距离之和，右边是$1 - a$。

首先先确定方程有解的前提：
因为左边是两个距离相加，结果必然是非负的（距离不可能是负数），所以右边$1 - a ≥ 0$，也就是$a ≤ 1$——这和你一开始想到的a不能大于1完全一致。

第二步：结合几何意义分析解的范围 #

我们分两种大情况讨论：

• 当$a = 1$时，方程变成$|x - 1| + |x - 1| = 0$，也就是$2|x-1|=0$，只有x=1一个解，显然不符合“三个整数解”的要求，直接排除。
• 当$a < 1$时，数轴上点a在点1的左边，这时候点x到1和a的距离之和的最小值就是1 - a（因为从a到1的距离就是1 - a，x在a和1之间时，到两个点的距离加起来刚好等于这段总长）；如果x在a的左边或者1的右边，距离之和都会大于1 - a，等式不成立。

所以此时方程$|x - 1| + |x - a| = 1 - a$的解就是所有满足$a ≤ x ≤ 1$的实数x——这是解题的核心结论！

第三步：确定a的取值范围，让解集中包含三个整数 #

既然解是区间$[a, 1]$，要这个区间里有三个整数，那这三个整数只能是1、0、-1（毕竟x≤1，不可能包含2及更大的整数）。

我们来拆解具体条件：

1. 必须让-1落在区间里：也就是$a ≤ -1$，如果a > -1，区间左端点在-1右边，那整数解就只有1和0两个，不够三个。
2. 不能让-2落在区间里：也就是$a > -2$，如果a ≤ -2，区间左端点在-2或左边，解里就会包含-2、-1、0、1四个整数，超过三个了。
3. 当a = -1时，区间是$[-1, 1]$，整数解刚好是-1、0、1三个，完全符合要求；当a在(-2, -1)之间时，区间左端点在-2和-1之间，整数解依然是-1、0、1三个，也符合要求。

把这些条件整合起来，就是$-2 < a ≤ -1$，和课本给的答案完全一致！

补充：用代数分段验证的思路 #

如果不用几何意义，用代数分段讨论也能得到相同结论，因为a ≤ 1，所以分三段：

• 当x ≥ 1时，方程化简为$(x-1)+(x-a)=1-a$，最终得到x=1，这是一个解。
• 当a ≤ x < 1时，方程化简为$(1-x)+(x-a)=1-a$，等式恒成立，所以这个区间内的所有x都是解。
• 当x < a时，方程化简为$(1-x)+(a-x)=1-a$，得到x=a，但x < a，所以这个解不存在。

最终还是得到解为$a ≤ x ≤1$，后续确定a范围的逻辑和几何方法完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者curioushuman