嗨，这个问题的答案是肯定的——你给出的交换图是成立的，长正合序列中的所有态射（包括由模同态诱导的映射和连接同态）都与子群限制映射相容。下面我来具体拆解原因：

1. 模同态诱导的上同调映射与限制的相容性 #

短正合序列里的两个模同态 $A \to B$ 和 $B \to C$，会分别诱导上同调层面的映射：

• $H^n(G,A) \to H^n(G,B)$
• $H^n(G,B) \to H^n(G,C)$

这两个映射和子群限制映射 $\text{Res}: H^n(G,M) \to H^n(H,M)$ 是交换的。从群上同调的定义就能看明白：
群上同调是基于上链复形构造的——$G$ 上的 $n$-上链是从 $G^n$ 到模 $M$ 的函数，限制映射本质就是把这个函数的定义域缩小到 $H^n$；而模同态 $f: M \to N$ 诱导的上链映射，就是把上链 $c$ 变成 $f \circ c$。这两个操作显然可交换：先把 $G$ 上链限制到 $H$ 再用 $f$ 作用，和先用 $f$ 作用再限制到 $H$，结果完全一致（这里 $M$ 是平凡 $G$-模，$f$ 是普通的阿贝尔群同态，自然满足 $f(g \cdot m) = g \cdot f(m) = f(m)$，不会出现冲突）。

2. 连接同态与限制的相容性 #

长正合序列里的连接同态 $\delta: H^n(G,C) \to H^{n+1}(G,A)$，同样和限制映射交换，也就是 $\text{Res} \circ \delta_G = \delta_H \circ \text{Res}$（$\delta_G$ 是 $G$ 对应的连接同态，$\delta_H$ 是 $H$ 对应的）。我们可以用具体的上链构造来验证：
假设 $[c] \in H^n(G,C)$，根据连接同态的定义，存在 $G$ 上链 $b \in C^n(G,B)$，使得 $p(b) = c$（$p$ 是短正合序列里的满射 $B \to C$）。因为 $d(c) = 0$，所以 $d(b) \in C^{n+1}(G,A)$（$p(d(b)) = d(p(b)) = d(c) = 0$，而 $A$ 是 $p$ 的核），$\delta_G([c])$ 就是 $[d(b)]$ 的上同调类。
现在看 $\text{Res}(\delta_G([c]))$，它就是 $[d(b)]$ 限制到 $H$ 上的类，也就是 $[d(b|_H)]$。另一方面，$\text{Res}([c])$ 是 $[c|_H] \in H^n(H,C)$，$\delta_H$ 作用在它上面时，取 $b|_H \in C^n(H,B)$，显然 $p(b|_H) = c|_H$，那么 $\delta_H(\text{Res}([c]))$ 就是 $[d(b|_H)]$ 的类。而 $d(b|_H) = d(b)|_H$，所以这两个上同调类完全相等，也就证明了连接同态和限制映射可交换。

综上，整个交换图是交换的，完整的图可以写成：
$$
\begin{array}{c}
\dots &\to& H^n(G,A) &\to& H^n(G,B) &\to& H^n(G,C) &\to& H^{n+1}(G,A) &\to& \dots \
& & \downarrow \text{Res} & & \downarrow \text{Res} & & \downarrow \text{Res} & & \downarrow \text{Res} & & \
\dots &\to& H^n(H,A) &\to& H^n(H,B) &\to& H^n(H,C) &\to& H^{n+1}(H,A) &\to& \dots
\end{array}
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者darko