咱们来一步步核对这个复积分的计算过程是否正确哈！

首先看原问题：

考虑多项式 $p(z)$ 满足 $p(0) \neq 0 \neq p(1)$，矩形区域 $R=[-1,2] \times [-1,3]$，计算积分 $\int_{\partial R} \frac{p(z)}{(z-1)z^2}dz$

第一步：极点位置判断与留数定理应用 #

首先确定被积函数的极点：$z=0$（二阶极点）和 $z=1$（一阶极点），这两个点都在矩形 $R$ 的内部（0和1的实部落在[-1,2]区间，虚部为0，属于[-1,3]区间），完全满足留数定理的应用条件——闭合曲线$\partial R$包围了所有极点，因此积分等于$2\pi i$乘以所有内部极点的留数之和，这一步逻辑完全正确。

第二步：各极点留数的计算验证 #

1. 一阶极点$z=1$的留数
   对于一阶极点$a$，留数公式为 $res(a, f(z)) = \lim_{z \to a} (z-a)f(z)$，代入被积函数：
   $$res\left(1,\frac{p(z)}{(z-1)z^2}\right) = \lim_{z \to 1} (z-1)\cdot\frac{p(z)}{(z-1)z^2} = \frac{p(1)}{1^2} = p(1)$$
   这部分计算完全符合一阶极点的留数计算规则，没有问题。

2. 二阶极点$z=0$的留数
   对于二阶极点$a$，留数公式为 $res(a, f(z)) = \frac{1}{(2-1)!}\lim_{z \to a} \frac{d}{dz}\left[(z-a)^2 f(z)\right]$，代入后：
   $$res\left(0,\frac{p(z)}{(z-1)z^2}\right) = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz}\left(z^2 \cdot \frac{p(z)}{(z-1)z^2}\right) = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz}\left(\frac{p(z)}{z-1}\right)$$
   用商的导数法则求导：
   $$\frac{d}{dz}\left(\frac{p(z)}{z-1}\right) = \frac{p'(z)(z-1) - p(z)}{(z-1)^2}$$
   代入$z=0$：
   $$\frac{p'(0)(0-1) - p(0)}{(0-1)^2} = \frac{-p'(0) - p(0)}{1} = -p(0) - p'(0)$$
   这和给出的计算结果一致，步骤完全正确。

第三步：最终积分结果验证 #

将两个留数相加后乘以$2\pi i$，得到：
$$\int_{\partial R} \frac{p(z)}{(z-1)z^2}dz = 2\pi i\left(-p(0)-p'(0)+p(1)\right)$$
整个推导过程每一步都严格遵循复分析中留数定理的相关规则，没有错误。

结论：这个计算过程是完全正确的！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J P