大家好，我最近卡在一道正数列的不等式证明题上了，想请教一下各位的思路！

题目详情 #

已知 ( n \ge 2 )，正数列 ( a_0, a_1, \dots, a_{n+1} ) 满足对任意 ( 1 \le k \le n )，有：
$$(a_{k-1}+a_k)(a_k+a_{k+1}) = a_{k-1}-a_{k+1}$$
需要证明：
$$a_n < \frac{1}{n-1}$$

我的初步尝试 #

我先对原式做了变形推导，因为所有 ( a_i ) 都是正数，所以从原式能直接看出 ( a_{k-1} - a_{k+1} > 0 )，也就是 ( a_{k-1} > a_{k+1} )。之后我把原式整理成了分式递推的形式：
从原式出发，将右边的 ( a_{k-1}-a_{k+1} ) 拆成 ( (a_{k-1}+a_k) - (a_k+a_{k+1}) )，再两边同时除以 ( (a_{k-1}+a_k)(a_k+a_{k+1}) )，就得到了：
$$1=\frac{1}{a_{k+1}+a_{k}}-\frac{1}{a_{k-1}+a_k}$$

不过到这一步我就不知道该怎么继续推进了，怎么从这个分式递推关系得到 ( a_n < \frac{1}{n-1} ) 呢？有没有大佬能给点提示或者完整的推导步骤呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pbtt