这确实是个挺反直觉的问题——同样是非正的数，为啥Gamma函数（阶乘的推广形式）对$(-\frac{3}{2})$这类负半整数“网开一面”，却对$-1$这类负整数直接宣告无定义呢？咱们从Gamma函数的核心定义和性质慢慢理清楚：

先抓两个关键工具：Gamma函数的收敛性与递推关系 #

Gamma函数的本质是把阶乘从正整数扩展到更广的范围，但要搞懂这个问题，得先记住两个核心点：

1. 积分定义的收敛边界：Gamma函数的原始积分形式是
   $$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt$$
   这个积分只在$\text{Re}(z) > 0$（也就是z的实部大于0）时收敛。对于实部小于等于0的z，直接积分是发散的，所以我们得靠解析延拓来扩展它的定义域。
2. 递推公式是延拓的核心：这是我们把Gamma函数扩展到非正区域的钥匙，公式是
   $$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$$
   对正整数来说，它正好对应阶乘：$\Gamma(n)=(n-1)!$；反过来也能写成$\Gamma(z) = \frac{\Gamma(z+1)}{z}$——这就是我们突破收敛边界的方法。

为啥$(-\frac{3}{2})!$能算出确定值？ #

首先明确：阶乘和Gamma函数的对应关系是$n! = \Gamma(n+1)$，所以$(-\frac{3}{2})! = \Gamma(-\frac{3}{2} + 1) = \Gamma(-\frac{1}{2})$，我们只需要算$\Gamma(-\frac{1}{2})$就行。

用递推公式往正实部的收敛区域推：
$$\Gamma(-\frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(-\frac{1}{2} + 1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}$$
而$\Gamma(\frac{1}{2})$是正实部区域的已知值，等于$\sqrt{\pi}$（这个可以通过高斯积分直接证明），代入后得到：
$$\Gamma(-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{\pi}}{-\frac{1}{2}} = -2\sqrt{\pi}$$
整个过程没有碰到除以0的情况，完全符合数学规则，所以$(-\frac{3}{2})!$是有确定值的。

为啥$(-1)!$完全无法定义？ #

同样用阶乘和Gamma函数的对应关系：$(-1)! = \Gamma(-1 + 1) = \Gamma(0)$，我们看$\Gamma(0)$的推导：
用递推公式的话，$\Gamma(0) = \frac{\Gamma(0+1)}{0} = \frac{\Gamma(1)}{0}$
而$\Gamma(1)=0!=1$，这就出现了除以0的情况——数学上这是奇点，意味着$\Gamma(0)$没有定义；再往下推$\Gamma(-1)$的话，$\Gamma(-1)=\frac{\Gamma(0)}{-1}$，但$\Gamma(0)$已经发散了，所以$\Gamma(-1)$也没有定义。所有负整数都会碰到这个问题：递推到最后必然会出现除以0的奇点，对应的阶乘自然也就不存在了。

关于你提到的积分比较的补充 #

你说在$(0,1)$区间$x^{{-\frac{3}{2}}e}{-x}$比$x^{-1}e{-x}$大，但后者积分发散，前者却能得到确定值？其实这里要注意：$\Gamma(-\frac{1}{2})$并不是直接用原始积分算出来的——原始积分在$\text{Re}(z)=-\frac{1}{2}$时是发散的，我们是通过解析延拓（也就是递推公式）从收敛区域“延拓”过来的结果，和直接积分的收敛性不是一回事。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Prince Yadav