证明积分极限I(k)的存在性并确定满足lim_{k→0}|k|^m I(k)=0的实数m
嘿，我当初做这份斯坦福旧 quals 题的时候也卡了一小会儿，不过后来捋清楚思路了，分享下完整的过程和结论～
第一步：证明$I(k)$的存在性
首先把原积分拆成实部和虚部：
$$
\lim_{R\to \infty}\int_{-R}R\frac{e{ikx}}{1 + |x|}dx =\lim_{R\to\infty}\left[\int_{-R}^R\frac{\cos(kx)}{1 + |x|}dx + i\int_{-R}^R\frac{\sin(kx)}{1 + |x|}dx \right]
$$
你已经注意到虚部是奇函数在对称区间的积分，直接等于0，所以只需要关注实部的收敛性：
$$
I(k) = \lim_{R→∞}\int_{-R}^R \frac{\cos(kx)}{1+|x|}dx = 2\lim_{R→∞}\int_{0}^R \frac{\cos(kx)}{1+x}dx
$$
这里用了被积函数是偶函数的性质，把对称区间积分转化为两倍的非负区间积分。接下来用Dirichlet判别法证明这个无穷积分收敛：
- 对于任意$A>0$，$\int_{0}^A \cos(kx)dx = \frac{\sin(kA)}{k}$，它的绝对值不超过$\frac{2}{|k|}$，是有界的；
- 函数$\frac{1}{1+x}$在$x≥0$时单调递减，且当$x→∞$时趋于0。
根据Dirichlet判别法，无穷积分$\int_{0}^∞ \frac{\cos(kx)}{1+x}dx$收敛，因此$I(k)$存在，且是一个实数（虚部为0），具体表达式为：
$$
I(k) = 2\int_{0}^∞ \frac{\cos(kx)}{1+x}dx
$$
第二步：确定满足$\lim_{k→0}|k|^m I(k)=0$的实数$m$
我们需要分析$k→0$时$I(k)$的渐近行为：
首先做变量替换$t=kx$（$k≠0$），则$x=t/|k|$，$dx=dt/|k|$，代入得：
$$
I(k) = 2\int_{0}^∞ \frac{\cos t}{|k| + t}dt
$$
当$k→0$时，令$\varepsilon=|k|→0+$，我们需要研究$J(\varepsilon)=\int_{0}∞ \frac{\cos t}{\varepsilon + t}dt$的渐近展开。利用余弦积分$\text{Ci}(\varepsilon)$和正弦积分$\text{Si}(\varepsilon)$的渐近性质：
- 当$\varepsilon→0^+$时，$\text{Ci}(\varepsilon) = \gamma + \ln \varepsilon + o(1)$（$\gamma$是欧拉常数）；
- $\text{Si}(\varepsilon) = \varepsilon - \frac{\varepsilon^3}{18} + o(\varepsilon3)$，因此$\int_{\varepsilon}∞ \frac{\sin t}{t}dt = \frac{\pi}{2} - \text{Si}(\varepsilon) = \frac{\pi}{2} - \varepsilon + o(\varepsilon)$。
将$J(\varepsilon)$拆分为：
$$
J(\varepsilon) = \cos\varepsilon \cdot \text{Ci}(\varepsilon) + \sin\varepsilon \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \text{Si}(\varepsilon)\right)
$$
代入渐近展开并忽略高阶小项，主导项是$\gamma + \ln \varepsilon$，因此：
$$
I(k) = 2\left(\gamma + \ln |k| + o(1)\right) \sim 2\ln\left(\frac{1}{|k|}\right) \quad (k→0)
$$
也就是说，当$k→0$时，$I(k)$的量级是$\ln(1/|k|)$，是对数级别的发散（趋于$+∞$）。
现在看$\lim_{k→0}|k|^m I(k)$的极限：
- 当$m>0$时，$|k|^m→0$，而$\ln(1/|k|)$是对数增长，幂次衰减的速度比对数增长快，因此：
$$
|k|^m I(k) \sim 2|k|^m \ln\left(\frac{1}{|k|}\right) →0 \quad (k→0)
$$ - 当$m=0$时，$|k|^0 I(k)=I(k)→+∞$，不满足极限为0；
- 当$m<0$时，令$m=-p$（$p>0$），则$|k|^m = 1/|k|^p$，此时：
$$
|k|^m I(k) = \frac{I(k)}{|k|^p} \sim \frac{2\ln(1/|k|)}{|k|^p} →+∞ \quad (k→0)
$$
因为分母趋于0的速度是幂次，比分子的对数增长快得多，整体趋于无穷大。
综上，满足$\lim_{k→0}|k|^m I(k)=0$的实数$m$是所有大于0的实数，即$m∈(0, +∞)$。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者random0620
