先把咱们的需求掰扯清楚：你手里有个圆心水平偏移原点的圆，极坐标方程已经给出：
$$r\left(\theta\right)=d\cos(\theta)+\sqrt{r_{0}^{2}-d{2}\sin^{2}(\theta)}$$
而且已知$r_0 > |d|$、$d < 0$（说白了就是圆心在原点左边）。现在要找个函数$f(\theta)$，把「圆上点相对圆心的水平夹角」$\theta$输进去，得到$f(\theta)$后代入原极坐标方程，出来的点相对圆心的角度正好就是你输入的$\theta$。

推导思路：用直角坐标的双重表示找关系 #

咱们把圆上的目标点用两种方式写直角坐标，然后让它们相等，就能建立角度之间的联系：

1. 相对圆心的坐标：圆心在$(d, 0)$，半径是$r_0$，如果点相对圆心的角度是$\theta$，那这个点的直角坐标就是：
   $$(d + r_0 \cos\theta,\ r_0 \sin\theta)$$
2. 相对原点的极坐标转换：如果这个点相对原点的极角是$\alpha = f(\theta)$，对应的极径是$r(\alpha)$，那直角坐标又可以写成：
   $$(r(\alpha)\cos\alpha,\ r(\alpha)\sin\alpha)$$

这俩坐标描述的是同一个点，所以对应分量必须相等：
$$
\begin{cases}
r(\alpha)\cos\alpha = d + r_0 \cos\theta \
r(\alpha)\sin\alpha = r_0 \sin\theta
\end{cases}
$$

求解映射函数$f(\theta)$ #

先把上面两个式子平方后加起来，能得到极径$r(\alpha)$的另一种表达式：
$$
[r(\alpha)]^2 = (d + r_0 \cos\theta)^2 + (r_0 \sin\theta)^2
$$
展开整理一下，利用$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$化简：
$$
[r(\alpha)]^2 = d^2 + 2 d r_0 \cos\theta + r_0^2 = r_0^2 + d^2 + 2 d r_0 \cos\theta
$$
所以$r(\alpha) = \sqrt{r_0^2 + d^2 + 2 d r_0 \cos\theta}$（极径是正的，取根号正号就行）。

接下来用两个等式相除，就能得到极角$\alpha$和输入角度$\theta$的正切关系：
$$
\tan\alpha = \frac{r_0 \sin\theta}{d + r_0 \cos\theta}
$$
不过直接用普通反正切会有象限歧义，比如正负号相同的不同象限角度会算错，所以更稳妥的是用带符号判断的反正切函数$\text{arctan2}(y, x)$——它会根据$x$和$y$的正负自动识别角度所在象限，不会出错。所以最终的映射函数就是：
$$
f(\theta) = \text{arctan2}\left(r_0 \sin\theta,\ d + r_0 \cos\theta\right)
$$

验证一下正确性 #

把$\alpha = f(\theta)$代入原极坐标方程$r(\alpha) = d \cos\alpha + \sqrt{r_0^2 - d^2 \sin^2\alpha}$，用之前的坐标等式验证：
从$r(\alpha)\cos\alpha - d = r_0 \cos\theta$、$r(\alpha)\sin\alpha = r_0 \sin\theta$，代入根号部分化简后，会发现结果正好等于$r(\alpha) - d \cos\alpha$，完全符合原方程，说明这个映射是对的。

补充：可选的三角函数形式（需注意象限） #

如果不想用$\text{arctan2}$，也可以用余弦或正弦形式表示$f(\theta)$：
$$
f(\theta) = \arccos\left( \frac{d + r_0 \cos\theta}{\sqrt{r_0^2 + d^2 + 2 d r_0 \cos\theta}} \right)
$$
或者
$$
f(\theta) = \arcsin\left( \frac{r_0 \sin\theta}{\sqrt{r_0^2 + d^2 + 2 d r_0 \cos\theta}} \right)
$$
不过这两种形式需要额外判断角度所在象限，在编程或实际计算中，$\text{arctan2}$是最省心的选择。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者R. Toy