关于分段函数$f(x,y)$在原点处对$x$的偏导数存在性矛盾的疑问
嘿，我来帮你理清这个让人困惑的矛盾点！你遇到的问题其实是第一种方法里犯了一个容易忽略的小错误，咱们一步步拆解来看：
首先明确目标函数：
$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{x2+2y}{x2+y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$
第一种方法的问题所在
你提到$f(x, 0) = 1$，这个结论只在$x≠0$时成立！当$x=0$时，根据函数定义，$f(0,0)=0$，所以$f(x,0)$本质是一个分段函数：
$$f(x, 0) = \begin{cases} 1 & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$
你直接对这个函数求导得到0，是错误的——因为这个函数在$x=0$处是不连续的（左右极限都是1，但函数值是0），根本不能用常规的求导法则来计算$x=0$处的导数，必须回到偏导数的定义本身。
第二种方法才是正确的
偏导数的定义是判断原点处偏导数存在性的唯一标准：
$$f'x(0, 0) = \lim{h\to 0} \frac{f(0+h, 0) - f(0, 0)}{h}$$
代入函数值：当$h≠0$时，$f(h,0)=\frac{h2+0}{h2+0}=1$，而$f(0,0)=0$，所以极限变为：
$$\lim_{h\to 0} \frac{1 - 0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}$$
这个极限显然不存在——当$h$从右侧趋近于0时，极限趋向$+∞$；从左侧趋近时趋向$-∞$，因此$f'_x(0,0)$确实不存在。
总结
第一种方法的错误根源在于误把分段的$f(x,0)$当成了处处等于1的常函数，忽略了$x=0$处的特殊定义。只有严格按照偏导数的定义来计算，才能得到正确的结论。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Heidegger
