我是第一年教高中微积分的老师，最近用同事出的试卷考试时，遇到了这么一道关于无穷级数的题目：

给定无穷级数 $\sum a_n$，下列哪个陈述是正确的？
A. 若 $\sum a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
B. 若 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，则 $\sum a_n$ 收敛
C. 若 $\sum a_n$ 发散，则 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$
D. 若 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$，则 $\sum a_n$ 发散
E. 以上都不对

试卷给出的答案是E，但我当时觉得选项C好像就是发散判别法的描述，应该也成立，不过我的同事们都不认同我的想法，想请教一下大家能不能帮我理清这里的逻辑？

首先得明确**发散判别法（n项极限判别法）**的准确表述：如果 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$（或者极限不存在），那么级数 $\sum a_n$ 一定发散——这其实是选项D的内容，这个命题是完全正确的。

但选项C是D的逆命题：“如果级数发散，那么n项的极限一定不为0”，这就不成立了。最经典的反例就是调和级数 $\sum \frac{1}{n}$：我们知道它是发散的，但当n趋向于无穷时，$\frac{1}{n}$ 的极限是0，完美推翻了选项C的结论。

那为什么试卷答案是E呢？这里可能需要再核对一下选项：选项A其实是收敛级数的必要条件，是完全正确的（任何收敛的级数，其通项的极限必然是0）；选项D也是正确的。如果题目里的选项确实是这样，那答案应该不是E——不过也许同事们出题时考虑的点有偏差？但回到你的核心疑问：选项C肯定是错误的，它和发散判别法不是一回事，发散判别法是“极限不为0则级数发散”，而不是“级数发散则极限不为0”，这两个命题是逆命题，逆命题不一定成立哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jisang222