关于ε-δ方法证明x→3时x²→9过程中x+3取值的疑问

我最近在做一道极限证明题，要求用ε-δ方法证明当x趋近于3时，x²的极限是9。

我自己推导的时候，先把$|x^2 - 9|$化简成$|x-3||x+3|$，然后我想着把$|x+3|$放缩成6——毕竟x靠近3的时候，$|x+3|$肯定小于6嘛，这样最后算出来$\delta=\epsilon/6$。

不过我看到标准答案里，对$|x+3|$的处理并不是直接用6来放缩，而是做了更细致的限制？我有点困惑，难道直接用6来放缩是不对的吗？这里的关键到底是什么呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ujjwal