关于冯·诺依曼代数关联算子的可闭复合闭包关联性质的问询

我最近在研究冯·诺依曼代数中的无界关联算子，遇到了一个问题想请教各位：

设$S$和$T$是与冯·诺依曼代数$M$关联的闭（无界）算子。假设$T \circ S$是稠定且可闭的，那我们能得出什么关于它的闭包也与$M$关联的条件吗？

另外，我在Stratila和Zsido的《Lectures on von Neumann algebras》一书的练习9.26中看到：如果$M$是有限冯·诺依曼代数，那么它的闭关联算子构成一个*-代数。由此我猜测这种复合闭包仍与$M$关联的性质可能只在有限情形下成立？那对于一般的冯·诺依曼代数$M$，我们能得到相关结论吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者szantag