嗨，针对这个递推序列的整数性证明问题，咱们一步步来梳理思路：

首先明确问题的核心要求：

若序列 $(a_n)$ 定义为 $a_1 = a_2 = 1$，且当 $n ≥ 3$ 时，
$$a_n = \frac{a_{n-1}^2+ 2}{a_{n-2}}.$$
证明所有 $a_i$ 均为整数。

先回应你的几个疑问：

• 你观察到前几项都是奇数这个点没错，但只通过前几项推断所有$a_{n-1}^2+2$是奇数还不够严谨——数学证明需要覆盖所有n的一般性结论，不过这个观察可以作为归纳法的辅助切入点。
• 你提到的“需要证明$a_{n-2} \mid a_{n-1}^2+2$”完全命中问题核心：我们必须确保每一步的分子都能被分母整除，才能得到整数的$a_n$。这里推荐用数学归纳法，但需要先推导一个更易用的辅助递推关系，单纯假设$a_{n-1},a_{n-2}$是整数还不足以直接推出整除性。

接下来给你具体的推导思路：

1. 先计算更多项找规律：
   算出来的前几项是：$a_3=3$，$a_4=11$，$a_5=41$，$a_6=153$，都是整数。尝试找线性递推关系：你会发现$a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}$对这些项都成立——比如$41-1=3=a_3$，$43-1=11=a_4$，$4*11-3=41=a_5$，完全匹配！
2. 证明这个线性递推关系的普遍性：
   • 从原递推式出发，有$a_n a_{n-2} = a_{n-1}^2 + 2$；
   • 把n替换成n-1，得到$a_{n-1}a_{n-3}=a_{n-2}^2 +2$；
   • 将两式相减：$a_n a_{n-2} - a_{n-1}a_{n-3} = a_{n-1}^2 - a_{n-2}^2$；
   • 整理变形后可得$\frac{a_n + a_{n-2}}{a_{n-1}} = \frac{a_{n-1} + a_{n-3}}{a_{n-2}}$，这说明这个比值是常数；
   • 代入初始项计算比值：$\frac{a_3+a_1}{a_2}=\frac{3+1}{1}=4$，所以这个比值恒为4，整理得到$a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}$。
3. 用线性递推做归纳证明：
   • 基例：$a_1=a_2=1$都是整数，成立；
   • 归纳假设：假设所有$k≤n-1$时，$a_k$都是整数；
   • 归纳步骤：$a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}$，整数的线性组合仍为整数，因此$a_n$必然是整数。

回到奇偶性的问题：从线性递推$a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}$来看，$4a_{n-1}$是偶数，$a_{n-2}$是奇数，偶数减奇数得奇数，所以所有项都是奇数，这也能解释$a_{n-1}^2+2$是奇数+偶数=奇数，但这只是辅助性质，核心还是线性递推关系的证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者descartescat_