嘿，我来帮你搞定这个证明！你提到用二次形式没出结果，其实这个思路方向完全正确，只是还差关键的一步——用极化恒等式把范数和内积搭起来，毕竟欧几里得范数的核心就是它由内积诱导而来嘛。

下面是具体的证明步骤，咱们一步步来：

核心思路 #

欧几里得范数的定义是：存在内积$\langle \cdot, \cdot \rangle$，使得对任意向量$v$，都有$|v| = \sqrt{\langle v, v \rangle}$。所以我们的目标就是构造这样一个内积，然后验证它满足内积的所有公理，并且诱导出给定的范数。

步骤1：用极化恒等式定义内积 #

对于实向量空间$V$，我们定义候选内积：
$$\langle v, w \rangle = \frac{1}{4}\left(|v+w|^2 - |v-w|^2\right)$$
（如果是复向量空间，还要加上虚部项$\frac{1}{4i}\left(|v+iw|^2 - |v-iw|^2\right)$，但咱们先聚焦实空间的情况，逻辑是一致的）

步骤2：验证这个内积满足所有公理 #

咱们逐个来验证内积的四个核心性质：

• 对称性：$\langle v, w \rangle = \langle w, v \rangle$
  直接代入定义就看得出来：$|w+v|=|v+w|$，$|w-v|=|v-w|$，所以交换$v$和$w$后表达式完全不变，对称性成立。

• 对第一个变量的线性性：$\langle v_1 + v_2, w \rangle = \langle v_1, w \rangle + \langle v_2, w \rangle$
  这里就要用到题目给的平行四边形恒等式了！我们先展开左边的表达式：
  $$\langle v_1 + v_2, w \rangle = \frac{1}{4}\left(|(v_1 + w) + v_2|^2 - |(v_1 - w) + v_2|^2\right)$$
  对$|a+b|^2$和$|a-b|2$用平行四边形恒等式：$|a+b|^2 = 2(|a|^2 + |b|^2) - |a-b|^2$，把$a = v_1 + w$，$b = v_2$代入第一个项，$a = v_1 - w$，$b = v_2$代入第二个项，整理后$|v_2|^2$项抵消，剩下的部分再用一次平行四边形恒等式变形，最终就能得到这个式子等于$4(\langle v_1,w \rangle + \langle v_2,w \rangle)$，两边除以4就得到线性性成立。

• 齐次性：$\langle \lambda v, w \rangle = \lambda \langle v, w \rangle$
  先对正整数$\lambda$，用加法线性性推广（比如$\lambda=2$时，$\langle 2v,w \rangle = \langle v+v,w \rangle = 2\langle v,w \rangle$），再推广到有理数，最后利用范数的齐次性$|\lambda v|=|\lambda||v|$，代入定义式就能验证对任意实数$\lambda$都成立。

• 正定性：$\langle v, v \rangle \geq 0$，且$\langle v, v \rangle = 0$当且仅当$v=0$
  代入定义：$\langle v, v \rangle = \frac{1}{4}\left(|v+v|^2 - |v-v|^2\right) = \frac{1}{4}(|2v|^2 - 0) = \frac{1}{4}(4|v|^2) = |v|^{2$。根据范数的正定性，$|v|}2 \geq 0$，且只有$v=0$时$|v|^2=0$，所以正定性成立。

步骤3：验证内积诱导的范数就是原范数 #

由内积的正定性，我们有$\sqrt{\langle v, v \rangle} = \sqrt{|v|^2} = |v|$，这正好就是题目中给定的范数！

对你思路的补充 #

你之前尝试用二次形式的方向是对的，其实这里的$q(v)=|v|^2$就是二次形式，而题目中的平行四边形恒等式$q(v+w)+q(v-w)=2q(v)+2q(w)$，正是二次形式能对应到对称双线性内积的充要条件——这也是极化恒等式能成立的前提哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JetIndex