嘿，我最近翻旧的微积分笔记时，又遇上了这个绕不开的极限——推导$\frac{d}{dx}\sin(x)$的时候，$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$这个结论是必不可少的中间步骤。我已经知道用夹逼定理的几何证明方法，但一直好奇：有没有其他不用微分、也不循环的证明方式呢？

当然，用洛必达法则套一下确实能得到结果，但这完全是循环论证啊——毕竟我们要证的这个极限本身就是推导sin(x)导数的前提，用导数反过来证极限根本站不住脚。同理，用泰勒展开也不行，因为泰勒展开的系数恰恰依赖于sin(x)的各阶导数，这也属于循环逻辑了。

下面给你两种符合要求的证明方法：

方法一：基于幂级数定义的证明 #

我们可以直接用幂级数来定义正弦函数，完全不依赖导数相关的知识：
$$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \dots$$

当x≠0时，将其除以x得到：
$$\frac{\sin(x)}{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots$$

当x→0时，所有含x的项都会趋近于0，只剩下首项1，因此$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$。这里的核心是我们先通过幂级数定义了sin(x)，没有用到它的导数，所以不存在循环论证的问题。

方法二：基于指数函数极限的证明 #

先利用指数函数的经典极限：$\lim_{t\to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$（这个极限可以通过幂级数或不等式推导，完全不涉及三角函数），再结合复数域中正弦函数的定义：$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$。

将sin(x)/x代入并变形：
$$\frac{\sin(x)}{x} = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2ix} = \frac{1}{2} \left( \frac{e^{ix} - 1}{ix} + \frac{e^{-ix} - 1}{-ix} \right)$$

当x→0时，ix和-ix都趋近于0，根据指数函数的极限，两个括号里的项都趋近于1，因此整体结果就是$\frac{1}{2}(1+1)=1$，极限得证。这个方法同样没有用到sin(x)的导数，也不是循环证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MattKuehr