你观察到相邻项的差是等比数列，这个思路非常棒！下面我用两种方法一步步推导这个递推数列的通项公式，帮你彻底搞懂：

已知初始项 $u(1) = -3$，递推公式为 $u(n) = 2u(n-1) + 5$，你已经算出前几项：$-3, -1, 3, 11, 27, ...$，相邻项的差为 $2, 4, 8, 16,...$，确实是公比为2的等比数列。

方法一：构造等比数列（线性非齐次递推的通用解法） #

这种递推式属于线性非齐次递推，形式为 $u(n) = a \cdot u(n-1) + b$（其中 $a \neq 1$），我们可以通过构造新的等比数列来简化求解：

1. 假设存在常数 $k$，使得 $u(n) + k = 2\left(u(n-1) + k\right)$，把右边展开：
   $$u(n) + k = 2u(n-1) + 2k$$
2. 整理后得到 $u(n) = 2u(n-1) + k$，对比原递推式 $u(n) = 2u(n-1) + 5$，可以得出 $k = 5$。
3. 这说明数列 ${u(n) + 5}$ 是一个等比数列：
   • 首项：$u(1) + 5 = -3 + 5 = 2$
   • 公比：和原递推式的系数一致，为2
4. 根据等比数列的通项公式，可得：
   $$u(n) + 5 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$$
5. 移项后得到原数列的通项：
   $$u(n) = 2^n - 5$$

方法二：利用差数列累加（基于你的观察） #

你发现相邻项的差是等比数列，我们可以直接用累加的方法推导：

1. 从递推式出发，计算相邻项的差：
   • $u(2) - u(1) = 2 = 2^1$
   • $u(3) - u(2) = 4 = 2^2$
   • $u(4) - u(3) = 8 = 2^3$
   • ...
   • 一般地，$u(n) - u(n-1) = 2^{n-1}$
2. 将从 $k=2$ 到 $k=n$ 的所有差式累加：
   $$u(n) - u(1) = \sum_{k=2}^n \left(u(k) - u(k-1)\right) = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{n-1}$$
3. 右边是首项为2、公比为2的等比数列求和，利用等比数列求和公式：
   $$\sum_{k=2}^n 2^{k-1} = 2 \cdot \frac{2^{n-1} - 1}{2 - 1} = 2^n - 2$$
4. 代入初始项 $u(1) = -3$：
   $$u(n) - (-3) = 2^n - 2$$
5. 整理后得到通项：
   $$u(n) = 2^n - 2 - 3 = 2^n - 5$$

我们可以验证一下结果是否正确：

• 当 $n=1$ 时，$2^1 -5 = -3$，符合初始项；
• 当 $n=2$ 时，$2^2 -5 = -1$，和你算的一致；
• 当 $n=5$ 时，$2^5 -5 = 32-5=27$，完全匹配你给出的数列。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者arkarwine