嗨，我来帮你梳理这个问题的解决思路！首先得提一句，其实经典的余元公式直接就给出$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin(\pi s)}$，这意味着$\Gamma(s)\Gamma(1-s)\sin(\pi s)=\pi$——本身就是个常数！不过既然你想要通过「增长估计+讲义里的Lemma 17.14」这个路径来推导，那咱们就按这个逻辑走一遍：

第一步：证明$\Gamma(s)\Gamma(1-s)$在带形$0\leq\text{Re}(s)\leq1$内当$\text{Im}(s)\to\infty$时有界 #

令$s=x+iy$，其中$0\leq x\leq1$，$y\to+\infty$。我们用Gamma函数的斯特林渐近公式：当$|\arg z|\leq\pi-\epsilon$时，$\Gamma(z)\sim z^{z-1/2}e{-z}\sqrt{2\pi}$。

对$\Gamma(s)$和$\Gamma(1-s)$分别应用斯特林公式：

• $\Gamma(s)\sim (x+iy)^{x+iy-1/2}e{-(x+iy)}\sqrt{2\pi}$
• $\Gamma(1-s)=\Gamma(1-x-iy)\sim (1-x-iy)^{{(1-x)-iy-1/2}e}{-(1-x-iy)}\sqrt{2\pi}$

计算模长的乘积：
$$|\Gamma(s)\Gamma(1-s)|\sim |x+iy|^{x-1/2} \cdot |x+iy|^{iy} \cdot |1-x-iy|^{(1-x)-1/2} \cdot |1-x-iy|^{-iy} \cdot 2\pi e^{-x}e{-(1-x)}$$

化简各项：

1. 指数衰减项：$e^{-x}e{-(1-x)}=e^{-1}$，是常数；
2. 幂次项：$|x+iy|\sim y$，$|1-x-iy|\sim y$，所以$y^{{(x-1/2)+(1-x-1/2)}=y}0=1$，也就是这部分是有界的；
3. 虚指数项：$|x+iy|^{iy}=e{iy\ln|x+iy|}\sim e^{iy\ln y}$，$|1-x-iy|^{-iy}=e{-iy\ln|1-x-iy|}\sim e^{-iy\ln y}$，两者相乘刚好抵消为1。

所以最终$|\Gamma(s)\Gamma(1-s)|=O(1)$，也就是在带形内当$y\to\infty$时是有界的。

第二步：估计$|\sin(\pi s)|$的增长速度 #

还是令$s=x+iy$，利用三角函数的复变展开：
$$\sin(\pi s)=\sin(\pi x+i\pi y)=\sin(\pi x)\cosh(\pi y)+i\cos(\pi x)\sinh(\pi y)$$

计算模长：
$$|\sin(\pi s)|=\sqrt{\sin^2(\pi x)\cosh^2(\pi y)+\cos^2(\pi x)\sinh^2(\pi y)}$$
利用恒等式$\cosh^2 z - \sinh^2 z=1$化简后，可得：
$$|\sin(\pi s)|=\cosh(\pi y)\sim \frac{1}{2}e^{\pi y}$$
也就是$|\sin(\pi s)|=O(e^{{\pi\text{Im}(s)})$（你提问里写的$O(e}{i\text{Im}(s)})$应该是笔误，指数部分应该是实数的指数增长）。

第三步：结合引理17.14推导常数结论 #

把两者的估计结合起来：
$$|\Gamma(s)\Gamma(1-s)\sin(\pi s)|=|\Gamma(s)\Gamma(1-s)|\cdot|\sin(\pi s)|=O(1)\cdot O(e^{{\pi\text{Im}(s)})=O(e}{\pi\text{Im}(s)})$$

从图里的上下文推测，Lemma 17.14应该是带形区域的Liouville定理推广：若全纯函数在$0\leq\text{Re}(s)\leq1$内全纯，且当$\text{Im}(s)\to\pm\infty$时满足指数增长估计，同时在带形内有界，则函数为常数。这里我们的乘积函数满足增长估计，且它在带形内是全纯的（Gamma函数在复平面除负整数和0外全纯，$\sin(\pi s)$在复平面全纯，所以乘积在$0\leq\text{Re}(s)\leq1$内全纯），因此可以直接用引理17.14得出$\Gamma(s)\Gamma(1-s)\sin(\pi s)$是常数。

另外提一句，你发现的讲义里的笔误确实存在：正确的$|\sin(\pi s)|$应该是$\frac{1}{2}|e^{i\pi s}-e^{-i\pi s}|$，作者不仅漏了指数里的$\pi$，还错误地用了共轭$\overline{s}$，确实是个小失误。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Epsilon-Delta