你已经算出导数$f'(x)=5x^4−5$并找到临界点1和-1，这个切入思路很靠谱！不过既然要用到压缩映射原理（Banach不动点定理），咱们换个方向，把原方程改写成「不动点形式」来推导会更直接~

步骤1：构造符合要求的压缩映射 #

首先把原方程$x^5 -5x +1=0$移项变形，得到：
$$x = \frac{x^5 + 1}{5}$$
记映射$T(x) = \frac{x^5 + 1}{5}$，我们需要验证两点：

• 映射封闭性：当$x \in [-1,1]$时，$x^5 \in [-1,1]$，因此$x^5 +1 \in [0,2]$，那么$T(x) = \frac{x^5+1}{5} \in [0, 0.4]$，显然这个区间完全包含在$[-1,1]$内，说明$T$是从$[-1,1]$到自身的映射。
• 压缩性：对$T(x)$求导得$T'(x) = x^4$。在区间$[-1,1]$内，虽然端点处$|T'(±1)|=1$，但原方程在端点处不成立（$f(1)=-3≠0$，$f(-1)=5≠0$），解必然在$(-1,1)$内。取解所在的子区间$[0,0.4]$（由封闭性可知$T$的值域在此），此时$|T'(x)| = x^4 ≤ (0.4)^4 = 0.0256 < 1$，满足压缩映射的条件（存在常数$k \in [0,1)$，使得$|T(x)-T(y)| ≤ k|x-y|$）。

步骤2：证明解的存在唯一性 #

根据Banach不动点定理：完备度量空间上的压缩映射必有唯一不动点。
这里$[-1,1]$是完备的（闭区间），$T$是压缩映射，因此存在唯一的$x^* \in [-1,1]$，使得$T(x^*) = x^{*$，也就是$x}{5} -5x^ +1=0$。
另外你之前用导数分析单调性的思路也能辅助验证：$f'(x)=5x^4-5 ≤0$在$[-1,1]$上恒成立，$f(x)$单调递减，结合$f(-1)=5>0$、$f(1)=-3<0$，也能直接得出原方程在$[-1,1]$内仅有一个解，和压缩映射的结论一致~

步骤3：求误差小于$10^{-3}$的近似解 #

用迭代法求解，选初始值$x_0=0$（也可选其他在$[-1,1]$内的值，这里选0计算最方便）：

• $x_1 = T(x_0) = \frac{0^5 +1}{5} = 0.2$
• $x_2 = T(x_1) = \frac{(0.2)^5 +1}{5} = \frac{0.00032 +1}{5} = 0.200064$
• $x_3 = T(x_2) = \frac{(0.200064)^5 +1}{5} ≈ \frac{0.0003205 +1}{5} ≈ 0.2000641$

此时$|x_3 - x_2| ≈ 1.024×10^{-7} < 10^{-3}$，完全满足误差要求。所以近似解可取$\boldsymbol{0.200}$（或更精确的$\boldsymbol{0.2001}$）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rika