已知函数 $f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$ 是二次可微函数，满足 $f(0)=0$，$f'(0)=1$，且对任意 $x \in [0,1]$ 都有 $f(x)+1=\dfrac{1}{f''(x)}$。需要证明此时 $f(1)<\frac{3}{2}$。

我试着用针对 $f'$ 和 $f''$ 的均值定理来推导，得到了一些等式，但没能推进到最终的证明。具体得到的结果如下：

• 计算得出 $f''(0)=1$，$f''(1)=\dfrac{1}{1+f(1)}$
• 根据均值定理，存在 $x_1 \in [0,1]$，使得 $f'(x_1)=\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=f(1)$
• 还存在 $x_2 \in [0,x_1]$，使得 $f''(x_2)=\dfrac{f'(x_1)-f'(0)}{x_1-0}=\dfrac{f(1)}{x_1}$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yavrumus